Fonction

[chiara121]

Bonjour tout le monde !
Je me dirige vers vous car je ne comprend pas l'intégralité de mon exercice.
Voila le sujet :
On considère le fonction f définie et dérivable sur R telle que f(x)= x(puissance 4) -4x² - 2x +1. On note C sa courbe représentative.
a) Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.
b)Vérifier l'égalité que pour tout réel x, x(puissance4) -4x² - 2x +1 -(-2x+1)=x²(x²-4).
c)Etudier les positions relatives de la courbe C par apport à la tangente T

Voici mes recherches :
a)f(x)= x(puissance 4) -4x² - 2x +1
f'(x)=3x(au cube) -4 x 2x -2 x 1
f(0)=0(puissance 4) - 4x0² - 2 x 0 +1 =1
f'(0)=3 x 0(au cube) - 4 x (2 x 0) - 2 x 1 = -2
Donc y= f'(0)(x-0)+f(0)
y= -2(x-0)+1 = -2x+1

b) x(puissance4) -4x² - 2x +1 -(-2x+1)=x²(x²-4)
x²(x²-4)= x² x x² -4x² = x(puissance4) - 4x²
x(puissance4) - 4x² -2x +1 -(-2x+1)
x(puissance4) - 4x² - 2x +1 +2x -1
x(puissance4) - 4x²

c) Je pense qu'il faut regarder avec la calculatrice mais je ne sais pas comment faire..

Est-ce que mes recherches sont juste ?
Bonne fin de journée.

[hdci]

Bonjour,

Je n'ai pas tout regardé mais votre dérivée à a question a comporte une erreur.

Quelle est de façon générale la dérivée de ?

A la question b, ce que vous écrivez n'a pas de sens : le signe "égal" a disparu... C'est comme si vous faisiez une phrase sans verbe.

Ceci dit, si on vous demande de montrer que A=B, où A est une sorte de "formule" (au sens "expression algébrique"), je vous recommande de ne pas commencer par écrire A=B, parce que justement on ne le sait pas encore. On commence par écrire "A=", puis on effectue les manipulations adéquates, pour arriver à la fin à "=B", cela ressemble donc à quelque chose comme

A=C
=D
=E
=B

Ici, vous pouvez commencer par supprimer les parenthèses puisqu'il y a des simplifications :




Vous factorisez ensuite par ce qui donne le résultat





Remarquez qu'on pourrait factoriser encore...

A la question c : certainement pas ! Une lecture graphique n'est pas une preuve.
Vous devez formellement indiquer si et où la courbe se trouve au-dessus ou en-dessous de sa tangente, et pour cela c'est une comparaison algébrique : il faut déterminer l'équation de la tangente (je crois que c'est fait à la première question) puis faire la différence entre les deux expressions et en étudier le signe.

[chiara121]

Je ne comprend pas mon erreur à la question a)...

Pour c) On étudie le signe f(x)=-(ax+b)
SI f(x)=-(ax+b)<0 Cf est en-dessous de T
f(x)=-(ax+b)> 0 Cf est au-dessus de T
f(x)=-(ax+b) = 0 Cf et T se coupent
Ici a vaux 0 mais b je ne sais pas...

[hdci]

Je ne comprend pas mon erreur à la question a)...

Je repose la question : de façon générale, quelle est la dérivée de ?

our c) On étudie le signe f(x)=-(ax+b)

Vous avez écrit une égalité : qu'est-ce que le signe d'une égalité ? (c'est peut-être simplement une étourderie ou un mauvais copier/coller).

En retirant le signe égal : oui vous avez raison. Sauf

Ici a vaut 0 mais b je ne sais pas...

Quelle est l'équation de la tangente T que vous avez trouvée à la question a) ? (malgré l'erreur de votre dérivée, l'équation de la tangente était correcte). Donc a ne vaut certainement pas 0 et b est parfaitement connu.

[chiara121]

a) La dérivé de x vaut 3x(au cube) -4 x 2x -2 x 1

b)L'équation de la tangente vaut y= -2(x-0)+1 = -2x+1
donc a vaut -2 et b +1
Est-ce correct ?

[hdci]

a) La dérivé de x vaut 3x(au cube) -4 x 2x -2 x 1

b)L'équation de la tangente vaut y= -2(x-0)+1 = -2x+1
donc a vaut -2 et b +1
Est-ce correct ?

a) Non

b) Oui

Vous n'avez toujours pas répondu à ma question : dérivée de
Si je pose cette question ce n'est pas pour rien : connaître cette dérivée permet de calculet toutes les dérivées de polynômes, en particulier celle de

Etes-vous en filière techno ou en première spécialité ? (question utile au regard du programme donc de ce que vous êtes censée savoir)

[chiara121]

a) x --> xpuissance n = nxpuissance n-1

b) d'accord donc y= -2(x-0)+1 = -2x+1
Cela est plus grand que 0 alors Cf est au-dessus de T
Est-ce juste ?

Je suis en première spécialité

[hdci]

a) x --> xpuissance n = nxpuissance n-1

Avec des parenthèses autour de n-1 (important, forcez-vous à être rigoureux/se surtout ici : on pourrait lire "x puissance n, le tout moins un" au lieu de x à la puissance (n-1))

Donc la dérivée de ? (remplacez n par 4...)

b) d'accord donc y= -2(x-0)+1 = -2x+1
Cela est plus grand que 0 alors Cf est au-dessus de T
Est-ce juste ?

Qu'est-ce qui est plus grand que 0 ? l'expression "-2x+1" n'est pas toujours positive. De plus ce n'est pas cette expression dont on évalue le signe, mais c'est le signe d'une certaine différence.

[chiara121]

a) x(puissance4) =4x(puissance3)

b) Si c'est pas "-2x+1" je ne vois pas vraiment ce que ça pourrait être...

[hdci]

a) x(puissance4) =4x(puissance3)

OK vous pouvez donc corriger votre premier exercice pour le calcul de la dérivée (sachant que l'erreur portant sur la puissance de x cela ne changeait pas la valeur du nombre dérivé en zéro)

b) Si c'est pas "-2x+1" je ne vois pas vraiment ce que ça pourrait être...

Reprenons : que cherchez-vous à faire, précisément ? Car si vous n'écrivez que la moitié de ce que vous voulez dire, forcément personne ne peut comprendre. Par contre si c'est tout ce que vous voulez dire, cela n'a pas de sens.
Il s'agit de déterminer si, ou quand, la courbe de f se trouve audessus de la tangente T. Quelle est alors l'inéquation qu'il faut résoudre ? (et ce n'est pas -2x+1 car ça ce n'est pas une inéquation, c'est une expression algébrique).

[chiara121]

a)f(x)= x(puissance 4) -4x² - 2x +1
f'(x)=4x(au cube) -4 x 2x -2 x 1
f(0)=0(puissance 4) - 4x0² - 2 x 0 +1 =1
f'(0)=3 x 0(au cube) - 4 x (2 x 0) - 2 x 1 = -2
Donc y= f'(0)(x-0)+f(0)
y= -2(x-0)+1 = -2x+1
Est-ce mieux?

b) On me demande d'étudier les positions relatives de la courbe C par apport à la tangente T.
J'en ai déduit qu'il fallait étudier la position relative C par apport à T donc il faut étudier le signe de f(x)-(ax+b). Mais après cela je ne sais pas comment procéder

[hdci]

Pour le a) c'est bon.

Pour le b) c'est donc bien le signe de f(x)-(ax+b), avec ax+b=... ?

Donc écrivez en remplaçant a et b par leurs valeurs, et f(x) par son expression.

Vous allez forcément voir apparaître quelque chose.

Pour rappel : pour résoudre une équation ou une inéquation, trois étapes :

1) On compare à zéro (donc c'est ce qui est fait juste ci-dessus)
2) On factorise, parce que c'est ce qui va permettre la troisième étape
3) pour l'équation, un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul, pour l'inéquation, le signe d'un produit se déduit du signe de chacun des facteurs (moins par moins, plus par plus, moins par plus...) et si nécessaire on fait un tableau de signes.

[chiara121]

f(x)= x(puissance 4) -4x² - 2x +1
a=0 et b=1 ??

[hdci]

Mais pourquoi donc a=0 et b=1 ? Où donc êtes vous allé pêcher ce 0 et ce 1 ? Ne cherchez pas à "devinez au hasard" car prendre des nombres au hasard dans un ensemble qui en compte une infinité, ça ne marchera pas.

De façon générale, soient f et g deux fonctions.

Si Cf et Cg sont leurs courbes respectives, alors les points de la courbes Cf sont exactement les (x,f(x)) et les points de la courbe Cg sont exactement (x,g(x))
L'équation de la courbe Cf est y=f(x) et l'équation de la courbe Cg est y=g(x).
Ce sont deux façons strictement identiques de dire la même chose : c'est une définition, la définition de la courbe représentative.

Maintenant, dire que Cf est au-dessus de Cg, ce n'est pas une définition, mais du simple bon sens : le 10ème étage est au-dessus du 4ème étage, parce que 10 est plus grand que 4. Donc, pour une même abscisse donnée, Cf est au-dessus de Cg si l'ordonnée du point de Cf est supérieure à l'ordonnée du point de Cg.
C'est dire f(x)>=g(x), ou ce qui revient au même f(x)-g(x)>=0 ("étape 1", on compare à 0).

Dans votre cas, la courbe Cg, c'est la tangente T. Quelle est l'équation de la tangente T ?

Mettez tout cela bout à bout et terminez.

[chiara121]

J'ai trouver a=0 (car c'est abscisse) et b=1 car c'est une donné que j'ai trouver dans mes réponses..
L'équation de la tangente T vaut : y= -2(x-0)+1 = -2x+1
Le point d'abscisse donnée pour Cf est 0.

Honnêtement mise à part mes propositions je n'arrive pas à comprendre, à trouver a et b...

[hdci]

Revenons donc à la question :

La question est-elle "quelle est la position du point d'abscisse 0 de la courbe de f par rapport au point d'abscisse 0 de la tangente" ?

Ou bien la question est-elle "parmi tous les points de la courbe de f, quels sont ceux qui sont au-dessus des points de la tangente de même abscisse" ?

L'équation de la tangente est y=-2x+1. Donc si le point M d'abscisse x se trouve sur la tangente, quelle est son ordonnée ?
Alors, si le point P de même abscisse x se trouve sur la courbe de f, quelle est son ordonnée ?
Une fois qu'on a dit cela, que signifie la phrase "P est au-dessus de M" ?

[chiara121]

La question est d'étudier les positions relatives de la courbe C par apport à la tangente T donc je pense qu'il faut étudier le signe afin de savoir si la courbe Cf est au-dessus ou en dessous ou si elle coupe la tangente T

[hdci]

Soyez plus précise :

donc je pense qu'il faut étudier le signe afin de savoir si la courbe Cf est au-dessus ou en dessous ou si elle coupe la tangente T

Le signe de quoi ?

[chiara121]

On étudie le signe de f(x)-(ax+b)
Mais le problème est que je n'arrive pas à identifier a et b...

[hdci]

Résumons :

est la courbe représentative de la fonction f définie par

T est la tangente à la courbe au point d'absicsse 0. L'équation de T est :

On cherche à savoir quand la courbe est au-dessus de la tangente.

Or T est la courbe représentative la fonction g définie par g(x)=ax+b

Vous ne voyez pas quelle est la relation ente l'équation de la droite T, et la fonction dont T est la courbe représentative ? Ce n'est absolument rien d'autre que l'application des définitions :

• T est la courbe représentative de la fonction g car tous les points de T sont de la forme (x, ax+b)
• L'équation de T est y=-2x+1 car tous les points de T sont de la forme (x,-2x+1)