Réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme qua

[Sarah032]

Bonjour,

J'ai un devoir à rendre en maths, cependant je suis complètement bloquée à une étape :
J'ai besoin de faire la réduction de gauss ( réduction en somme de carré - forme quadratique) de l'équation suivante :

f(x,y,z)= 6x^2 +4y^2 +2z^2 −8xy+2xz−4yz+6x−4y+2z

j'essai de partir du fait que (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc mais je finis toujours par m'embrouiller dans mes calculs.

Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, je lui en remercie d'avance!

Sarah.

[phyelec]

Voici mes calculs :
f(x,y,z)=
f(x,y,z)=
f’(x,y,z)=
La technique est d’éliminer deux variables en même temps 2 :
q(x)=axy+bx+cy
q(x)=a(x+c/a)(y+b/a)-bc/a
ensuite utiliser
q(x,y)=–
donc pour :
−4xy+3x−2y avec a=-4,b=3 et c=-2 on trouve :
q(x,y)=
q(x,y)=
q(x,y)=
q(x,y)=
f’(x,y,z)=

f’(x,y,z)=
xz +z avec a=1 b=0 et c=1
q’(x,z)= –

q’(x,z)=–

f’(x,y,z)= + q’(x,z)+ q(x,y)+
f(x,y,z)=2 f’(x,y,z)

vérifiez mes calculs, on est en présence d'une forme dégénérée car il reste un -3

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Ce n'est pas une forme quadratique (elle n'est pas homogène). Mais on peut appliquer la technique de réduction de Gauss (on pourrait, si on veut, homogénéiser avec une nouvelle variable pour se ramener à une forme quadratique.)

La technique est, tant qu'on peut, d'éliminer une seule variable à la fois en "complétant les carrés".
On peut commencer par la variable qu'on veut. Je commence par parce que le coefficient de est un carré d'entier. On prend tout ce qui contient et on complète le carré.

et donc


On recommence le travail avec où il n'y a plus que les variables . Je suggère de s'attaquer à , puisqu'on voit un joli début de carré avec les termes qui contiennent :



Je laisse continuer.

Il n'y a pas de forme dégénérée dans l'histoire, contrairement à ce qu'écrit phyelec.

[phyelec]

@GaBuZoMeu : vous avez raison Il n'y a pas de forme dégénérée dans l'histoire

[phyelec]

De toute façon, mon calcul n'est pas adapté ( j'ai raisonné comme si j'avais 2 variables, c'est une erreur), car il faut aboutir à une somme de 3 carrées avec les 3 variables.

[phyelec]

erratum pour q(x,y) au où : q(x,y)= -(x+y-1/4)^2 +(x-y +5/4)^2 -3/2

[GaBuZoMeu]

Phyelec, ce que tu proposes est vicié à la base (l'histoire d'éliminer deux variables à la fois, ce qui ne va pas puisque les carrés de ces variables sont présents).
Et la décomposition en carrés fait ici intervenir 4 carrés (ce qui est normal puisque en homogénéisant, on a une forme quadratique en 4 variables).