Dérivation

[chiara121]

Bonjour tout le monde!
Je suis en première, je doit faire un exercice de maths mais ce dernier me pose quelques difficultés.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?
Voici l'énoncé:
Thomas roule sur l’autoroute, mais ne surveille pas sa vitesse car il est distrait.
Il réalise qu’il roule plus vite que la vitesse autorisée (130 km/h sur les autoroutes en France) et apperçevant un radar, il ralentit en freinant et stabilise sa vitesse au bout de 4 secondes.
La distance parcourue, en mètres, par la voiture à partir du coup de frein (pour t compris entre 0 et 4 secondes) est donné par la fonction d(t)=480t/t+12
1. Calculer la vitesse moyenne entre t=0,5 seconde et t=3secondes.
2. La vitesse instantannée est donnée par la dérivée de la fonction d, soit v(t)=d'(t) (pour t compris entre 0 et 4 secondes). Donner l’expression de v(t).
3. Thomas arrive au niveau du radar 0,5 seconde après avoir commencé à freiner. Sera-t-il en excès de vitesse ?
4. Quelle est la vitesse du véhicule au bout de 4 secondes après le coup de frein ?

Voici mes recherches:
1.d(0,5)=480x0,5/0,5+12
= 19,2
d(3)=480x3/3+12
= 96
Est-ce que le début est bon?

[hdci]

Bonjour,
Pour la première question, le résultat est correct et le calcul que vous faites est le bon calcul.

MAIS...

Comme la plupart des élèves de lycée, votre écriture est fausse. Voyez-vous pourquoi ? (c'est une histoire de priorité).

[chiara121]

Faut-il inclure le d avec?
d(0,5)=480xd(0,5)/d(0,5)+12
= 19,2
d(3)=480xd(3)/d(3)+12
= 96

[hdci]

Non ma remarque ne portait pas sur cela. Ce que vous avez écrit ici n'a plus aucun sens.

Ecrire d(0,5) sachant que d est une fonction, c'est écrire "l'image de 0,5 par la fonction d".

L'énoncé vous dit



Cela veut dire que pour déterminer l'image d'un nombre donné par la fonction, vous remplacez t par ce nombre.

Pour t=0,5, en langage naturel, on peut dire :
"l'image de 0,5 par la fonction d est égale à 480 multiplié par 0,5, le tout divisé par, entre parenthèses, 0,5 plus 12"

Ce que vous venez d'écrire en rajoutant des d partout, c'est

"l'image de 0,5 par la fonction d est égale à 480 multiplié par l'image de 0,5, divisé par l'image de 0,5, ce à quoi on ajoute 12."
(Autrement dit, pour déterminer l'image de 0,5, vous avez besoin de l'image de 0,5 : c'est louche...)

Si je vous demande de calculer , quel est le résultat : 17 ou bien 27 ? Pourquoi l'un et pas l'autre ?

[chiara121]

Est-ce comme cela ?
d(t)=480t/t+12
t=0,5
.d(0,5)=480x0,5/(0,5+12)
= 19,2

Pour répondre à votre question 3 x 4 + 5 est égale à 17 car la muplitication est prioritaire on la met entre parenthèse

[chiara121]

multiplication***

[hdci]

Oui, le résultat est bien 17 car sans les parenthèses l'addition s'effectue après.

Donc quand vous écrivez 480t/t+12, sans les parenthèses cela fait 480t/t d'abord (donc 480 par simplification), plus 12 ensuite.

Ce que vous avez écrit au-dessus pour d(0,5) est maintenant correct avec les parenthèses (mais au-dessus avec juste le "t" il manque encore les parenthèses).

[hdci]

Avez-vous fait la suite ?

[chiara121]

d(t)=480t/(t+12)
t=0,5
.d(0,5)=480x0,5/(0,5+12)
= 19,2
Est-ce mieux?

2. J'ai commencé à réfléchir, voici ma piste :
v(t)=480 x t et d'(t)= t+12

[hdci]

d(t)=480t/(t+12)
t=0,5
.d(0,5)=480x0,5/(0,5+12)
= 19,2
Est-ce mieux?

Oui maintenant il n'y a plus d'ambigüité dans l'écriture

. J'ai commencé à réfléchir, voici ma piste :
v(t)=480 x t et d'(t)= t+12

La fonction "vitesse" est la dérivée de la fonction "mouvement" : ici la fonction mouvement c'est d.
Donc la vitesse est ou encore

Comment calcule-t-on la dérivée de la fonction d ?

(Vous avez forcément dans votre cours les formule de dérivation : (uv)', (u/v)', etc.)

[chiara121]

Je ne suis pas très alaise avec ce genre de fonction..

d(t)=480t/(t+12) de la forme u/v avec:
u=480t et v=t+12
Est-ce correct ?

[hdci]

Oui c'est correct.

Après il faut bien utiliser la formule



Formule qu'il est impératif de maîtriser.

Le reste n'est que calcul.

[chiara121]

D'accord donc,

d(t)=480t/(t+12) de la forme u/v avec:
u=480t ; u'=480
v=t+ 12 ; v'= 12
Je ne pense pas que ce soit cela, j'ai l'habitude de travailler avec des x donc le t me dérange un peu..

[hdci]

Si vous avez l'habitude de travailelr avec des x, remplacez doc tous les t par des x, c'est pareil.

A la fin, vous remplacerez tous le x par des t pour revenir dans les symboles de l'énoncé.

Votre u' est correct, mais votre v' est incorrect.

Attention, ce n'est pas u=480t, mais u(t)=480t (u est une fonction, t est une variable donc un nombre, u(t) est l'image de t par la fonction u)

[chiara121]

Je rectifie ,
d(t)=480t/(t+12) de la forme u/v avec:
u(t)=480t ; u'=480
v(t)=t+ 12 ; v'= 0

Est-ce mieux ?

[hdci]

v(t)=t+ 12 ; v'= 0

Non ceci n'est pas correct.

Quelle est la dérivée de la fonction (autrement dit, puisque c'est l'équation d'une droite, quelle est le coefficient directeur ?

[chiara121]

u=480t ; u’481
v=t+12 ; v’=1
Est-ce mieux ?

Le dérivé de d est de la forme (u/v)’ = u’v-v’u/v au carré
= 481 x (t+12) - 1 (480t)/(t+12) au carré
=481t + 5772 - 480t/ (t+12) au carré
= t+ 5772/(t+12) au carré

Est-ce juste ?

[hdci]

u=480t ; u’=481

Pourquoi 481 ?

v=t+12 ; v’=1

correct

(u/v)’ = u’v-v’u/v au carré

Aux parenthèses près... il est important de bien mettre les parenthèses, d'une part pour celui qui lit (c'est beaucoup plus simple car on n'a pas l'effort de deviner à faire) et ensuite pour vous (cela vous évite de faire des erreurs par la suite)

= 481 x (t+12) - 1 (480t)/(t+12) au carré
=481t + 5772 - 480t/ (t+12) au carré
= t+ 5772/(t+12) au carré

Est-ce juste ?

Sauf pour le "481" et les parenthèses à rajouter.

[chiara121]

le t ne vaux pas 1? ou alors u'= 480