Petit exercice sur la dualité

[Frandom94]

Bonjour à toutes et à tous !

J'ai un petit exercice sur la dualité à traiter mais je ne suis pas vraiment sûr de moi...

Quelqu'un pourrait-il jeter un petit coup d'œil ?

Soient e1, e2, e3, les vecteurs de la base canonique de R3. Soient u1=(-2,2,1) et u2=(2,0,3). F est le sous-espace généré par u et v.

1) Déterminer l'orthogonal de F et en déduire une équation pour F. (j'ai 3x+4y-2z=0=).
2) Montrer que (u1, u2, e1) est une base de R3. (trivial).
3) Déterminer les coordonnées de e2* dans la base duale (u1*, u2*, e1*). Je ne sais pas comment m'y prendre.

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Tu connais la matrice de passage de la base à la base . Tu peux en déduire facilement la matrice de passage de la base duale de à la base duale de .

Ou encore, est la forme linéaire "2e coordonnée dans la base canonique".
Si un vecteur a pour coordonnées dans la base , quelle est sa 2e coordonnée dans la base canonique ?

[Frandom94]

Bonsoir à toi !

Merci pour ta réponse !

J'ai essayé tes deux méthodes et je tombe sur la même chose.

La matrice A de passage de B1 (base canonique) à B2 (nouvelle base) est évidente. On sait d'après le cours que la matrice de passage de B1* à B2* est la transposée de l'inverse de la matrice A. On cherche la matrice de passage de B2* à B1*, qui est donc la transposée de A ! En définitive, on trouve e2*=2u1*.

Pour la seconde approche, on choisit un vecteur a de coordonnées (x,y,z) . On a donc a=xu1+yu2+ze1. Cela donne a=(-2x+2y+z, 2x, x+3y). Sa deuxième coordonnée sur la base canonique est donc 2x=2u1* par définition. Et donc e2*=2u1*.

Est-ce que mes raisonnements sont bons ?

Merci à toi !

[GaBuZoMeu]

Le fait que tu trouves la même réponse par les deux cheminements devrait te rassurer (les deux cheminements ne sont d'ailleurs différents qu'en apparence).

[Frandom94]

Oui, c'est vrai !

Merci beaucoup

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.