Vocabulaire intégrale

[Momodu068]

Bonjour , j'aurais une question de vocabulaire à propos des intégrales. \int\limits^a_b {x} \, dx (intégrale de a à b) , je ne comprends pas pourquoi on dit que a est la borne inf et b est la borne sup de l'intégrale ce n'est pas trés intuitive car pour moi la borne sup et la borne inf dépend de la fonction qu'on a et la on le généralise dans le cas d'une integrale. Merci pour l'eclaircissement , bon debut de journée.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

a est tout simplement la borne inférieure de l'intervalle sur lequel on intègre f, et b sa borne supérieure. Et pour respecter "inférieure" et "supérieure", il vaudrait mieux écrire _a^b.

[hdci]

\int\limits^a_b {x} \, dx

Remis en tex cela fait



Et là la borne inférieure est clairement b et la borne supérieure est a.

Indépendamment du fait qu'on intègre "de b à a", le b se trouve en bas et le a en haut...

Attention : je pense que vous faites une confusion entre les bornes de l'intégrale et les bornes de la fonction. Il ne s'agit pas de la borne inférieure et de la borne supérieure de la fonction (ordonnées), mais des bornes de l'intervalle des abscisses sur lequel on intègre, ou plus exactement, du "point de départ" de l'intervalle et du "point d'arrivée" de l'intervalle, sachant que si les deux bornes sont "inversées", on change le signe, c'est-à-dire



Cela peut se lire également "intégrale pour x allant de a à b de f(x)dx".

[Rhaegar]

Bonjour,

L'intégrale de Riemann est construite de sorte qu'on intègre une fonction de a à b toujours avec a<b. Dans ce cas, la borne inférieur de l'intégrale est a et la borne supérieur de l'intégrale est b. Ensuite, pour des commodités de calcul, lorsque b<a on définit l'intégrale par
.

Pour l'intégrale de Lebesgue, l'explication est similaire. Lorsque a<b, vous avez
.
Si b<a, on pose comme pour l'intégrale de Riemann,
.

/!\ si b<a, on a pas
.
puisque [b,a] = {x réél tels que b < x < a } = {} (ensemble vide) et donc l'intégrale serait nulle.

Pour résumer, si on intègre f de a à b avec a<b, la borne inférieure de l'intégrale est la borne inférieur de l'intervalle sur lequel on intègre, soit a puisque l'intervalle d'intégration est [a,b]. De même pour la borne supérieure.

[Momodu068]

Merci énormément pour vos réponses. En effet comme l'a dit hdci j'ai confondu borne de l'intervalle et borne de la fonction. Mais comment différencier les deux car les deux ont le mm nom (borne inf et sup) ?

[hdci]

C'est juste fonction du contexte. L'intégrale entre "les bornes de la fonction" n'a pas trop de sens, sauf si on veut calculer l'aire formée par la courbe entre les abscisses de deux extrema par exemple, mais là l'énoncé sera explicite.

[Momodu068]

d'accord , merci beaucoup de m'avoir éclaircis !