par SAGE63 » 20 Jan 2021, 18:53
Bonjour à tous
Il existe une formule de mathématiques financières qui nous donne la valeur actuelle (ou le capital emprunté) de "n" mensualités de fin de périodes égales chacune à 1, à savoir :
C = [ 1 - ( 1 + i )¯ ⁿ ] / i
avec :
C = capital emprunté
i = taux d'intérêt périodique équivalent mensuel exprimé pour 1
n = nombre de mensualités
Dans le présent problème les valeurs des différentes variables sont les suivantes
a) le taux d'intérêt annuel est de 5,00 l'an soit 0,05 pour 1 annuel
Il faut calculer le taux équivalent mensuel de la façon suivante :
( 1 + 0,05 ) ¹/¹² = 1,05 ¹/¹² = 1,004074124
ce qui nous donne finalement un taux équivalent mensuel de :
1,004074124 -1 = 0,004074124 pour 1 mensuel
b) la formule devient :
i = 0,004074124 pour 1 mensuel soit 0,407412378 % mensuel
1 + i = 1,004074124
n = 120
( 1 + i ) ¯ⁿ = 0,613913254
On a :
C = [ 1 -0,613913254 ] / 0,004074124
C = 0,386086746 / 0,004074124
C = 94,76559058
CONCLUSION : Pour le paiement d'une mensualité de 1,00 € pendant 120 mois soit au total 120 €
au taux annuel de 5,00 % l'an soit 0,004074124 pour 1 par mois,
le capital emprunt est de 94,7655906 €.
le total des mensualités remboursées est de 120 €
Les intérêts payés pour chaque mensualité sont de : .
120,00 -94,7655906 = 25,2344094
c) La solution du problème
c1) L'énoncé nous dit que le total des intérêts est de 10 000,00 euros
c2) Le capital emprunté sera de :
94,7655906 * 10 000,00 / 25,2344094 = 37 554,1147
c3) Le montant 120 mensualités est de :
120,00 * 10 000,00 / 25,2344094 = 47 554,1147
ce qui nous donne un montant de chaque mensualité de :
47 554,1147 / 120 = 396,2842892
c4) Le montant des intérêts est de :
La somme des intérêts se vérifie de la façon suivante :
47 554,1147 -37 554,1147 = 10 000,0000 montant donné par l'énoncé.
C5) LA VERIFICATION : LE JUGE DE PAIX : LE TABLEAU DE REMBOURSEMENT DE L'EMPRUNT
(présentation ligne par ligne)
MOIS n° 1
Capital restant à rembourser en début de mois 37 554,11470
Mensualité remboursée 396,28429
Taux d'intérêt mensuel pour 1 0,0040741
Montant des intérêts du mois : 153,00011 -
Amortissement capital remboursé : 243,28418
Capital restant à rembourser en fin de mois 37 310,83053
MOIS n° 2
Capital restant à rembourser en début de mois 37 310,83053
Mensualité remboursée 396,28429
Taux d'intérêt mensuel pour 1 0,0040741
Montant des intérêts du mois : 152,00894 -
Amortissement capital remboursé : 244,27535
Capital restant à rembourser en fin de mois 37 066,55518
MOIS n° 119
Capital restant à rembourser en début de mois 787,75122
Mensualité remboursée 396,28429
Taux d'intérêt mensuel pour 1 0,0040741
Montant des intérêts du mois : 3,20940
Amortissement capital remboursé : 393,07489
Capital restant à rembourser en fin de mois 394,67633
MOIS n° 120
Capital restant à rembourser en début de mois 394,67633
Mensualité remboursée 396,28429
Taux d'intérêt mensuel pour 1 0,0040741
Montant des intérêts du mois : 1,60796
Amortissement capital remboursé : 394,67633
Capital restant à rembourser en fin de mois 0,00000
Maintenant que le problème est résolu, établir la formule qui permet de calculer la mensualité à partir du montant total des intérêts payés est , disons, relativement facile à établir.