Construction d'un tableau

[Oli1]

Bonjour à tous,

Alors voilà j'ai une question toute simple mais dont la résolution me semble assez redoutable. En tout cas si une solution existe à ce problème, je pense que ce serait fort utile pour le traitement des données.

Le problème est le suivant :

Je veux identifier les dimensions (longueur et largeur) d'un tableau.
Ce tableau possède une forme rectangulaire .
Ce tableau possède 721 cases.

Je ne dispose que de 3 informations :
- la valeur de la première case du tableau qui vaut 1. Cette case située en haut à gauche du tableau.
- la valeur de la case centrale du tableau qui est la 361ème. Cette case est située au milieu du tableau.
- la valeur de la dernière case du tableau qui est la 721 ème. Cette case est située en bas à droite du tableau.

Ce problème comme ceux du même type admet une seule et unique solution.

Sachant que sur chaque ligne du tableau les cases sont comptées de gauche vers la droite et que le nombre de colonnes est nécessairement différent du nombre de lignes, existerait-il un formule générale de calcul qui permettrait de déterminer le nombre de lignes et de colonnes du tableau à partir des informations sur ces 3 cases ? Je vous remercie pour les idées et les propositions que vous pourrez partager sur ce sujet.

[hdci]

Bonjour,

Je suppose que le tableau est constitué de cases carrées formant des lignes ou des colonnes, donc le nombre de cases dans une ligne est , le nombre de cases dans une colonne est , et il faut déterminer et ?

Pour commencer, s'il y a une "case du milieu" c'est que et sont impairs.

Ensuite, le nombre total de cases est , ce qui est du coup le n° de la dernière case. On en déduit donc que

Regardons la case du milieu : comme il y a autant de cases avant que de cases après (puisque c'est le milieu), on en déduit qu'il y a cases avant, ce qui est également le numéro de la case avant la case du milieu. Le rang de la case du milieu est donc soit ici

Mais en fait, cela n'apporte pas d'information supplémentaire (sauf l'existence d'une solution : si on avait donné une autre valeur que 361, la moitié de (721+1), il n'y aurait pas de solutions).

Finalement, le problème revient à résoudre , et le nombre de solutions est exactement égal au nombre de diviseurs de 721. Comme et que ces deux facteurs sont premiers, il y a donc ici 4 solutions : des tableaux de

• 1 ligne et 761 colonnes,
• 7 lignes et 103 colonnes,
• 103 lignes et 7 colonnes
• et 721 lignes et 1 colonne.

En particulier, il n'y a certainement pas unicité de la solution. On peut établir une solution unique non triviale en donnant deux conditions supplémentaires : nombre de colonnes supérieur au nombre de lignes, et au moins deux lignes deux colonnes ; il n'y a alors unicité que si le n° de la dernière case est le produit de deux nombres premiers.

[Oli1]

Merci pour votre réponse hdci, je la trouve particulièrement limpide.

J'ai deux questions complémentaires à vous poser par rapport à votre réponse :

- Vous écrivez : "On peut établir une solution unique en donnant deux conditions supplémentaires : nombre de colonnes supérieur au nombre de lignes, et au moins deux lignes deux colonnes ; il n'y a alors unicité que si le n° de la dernière colonne est le produit de deux nombres premiers".
Je ne comprends pas très bien ce que vous voulez dire.

- Vous mentionnez le fait de multiplier N par P pour arriver à 721, ce qui revient à identifier les deux facteurs premiers de 721. Y aurait-il d'après vous d'autres équations plus efficaces pour trouver ces diviseurs, notamment dans l'hypothèse où le nombre de cases du tableau serait très grand ?
Je parle seulement d'équations qui utiliseraient les informations sur les cases du tableau.

En vous remerciant

[hdci]

- Vous écrivez : "On peut établir une solution unique en donnant deux conditions supplémentaires : nombre de colonnes supérieur au nombre de lignes, et au moins deux lignes deux colonnes ; il n'y a alors unicité que si le n° de la dernière colonne est le produit de deux nombres premiers".
Je ne comprends pas très bien ce que vous voulez dire.

Prenons votre exemple : 721 est égal à 7 fois 103, 7 et 103 étant premiers les seuls diviseurs de 721 sont 1, 7, 103 et 721 ; ou plus exactement si je les associe par paire, 1 et 721, et 7 et 103.
Si on interdit le cas trivial "une seule ligne ou une seule colonne", il n'y a bien qu'une seule solution, largeur 7 et longueur 103 et en précisant que la largeur c'est le nombre de lignes (le plus petit), on a bien une unique solution, qui est 7 lignes et 103 colonnes.

Prenons un autre exemple : la dernière case est le numéro 165. Mais dans ce cas, 165= et les diviseurs, toujours regroupés par paire, sont (1 et 165) ; (3 et 55) ; (5 et 33) ; (11 et 15)
En retirant le cas trivial "une seule ligne" et en conservant le nombre de lignes inférieur au nombre de colonnes, vous avez ici 3 solutions : 3 par 55 ; 5 par 33 et 11 par 15.

La différence entre les deux exemples, c'est que dans le second exemple le nombre 165 est le produit de 3 nombres premiers et pas uniquement deux.

- Vous mentionnez le fait de multiplier N par P pour arriver à 721, ce qui revient à identifier les deux facteurs premiers de 721. Y aurait-il d'après vous d'autres équations plus efficaces pour trouver ces diviseurs, notamment dans l'hypothèse où le nombre de cases du tableau serait très grand ?

Ben en fait non. C'est d'ailleurs le principe même du cryptage RSA utilisé notamment par le https d'internet : on utilise un "très très très grand nombre" qui est égal au produit de deux nombres premiers ; le très très très grand nombre est connu de tout le monde et sert à crypter l'information, mais pour décrypter il est nécessaire de connaître les deux facteurs premiers et justement, il n'y a pas de solution miracle pour cela, et plus le nombre est grand plus cela prend de temps pour craquer, donc seul celui qui connaît les deux facteurs peut valablement décrypter en temps et en heure (et l'idée dans ce mode de cryptage est justement que quand on a "craqué" le code, l'information n'a plus aucun intérêt car trop vieille ; il s'appelle "clé publique / clé privée" avec le très grand nombre étant la clé publique, les deux nomrbes premiers la clé privée).

[Oli1]

Merci hdci pour votre nouvelle réponse, j'ai compris tout ce que vous expliquez.

Je me demande toutefois si pour les grands tableaux avec de nombreuses cases, il n'y aurait pas une solution arithmétique assez simple qui consisterait à compter le nombre de formes carrées contenues dans un rectangle. Il suffirait de partir du point médian en travaillant sur un rectangle dans lequel on place le grand facteur en haut à droite du rectangle (donc globalement en donnant une forme horizontale à ce rectangle). On superpose tous les carrés inscrits dans un rectangle jusqu'à arriver à la bordure de ce rectangle, et ainsi on arrive nécessairement au plus petit côté du rectangle qui correspond à la valeur du petit facteur premier.

Pour moi l'intérêt de cette approche est que dans cette perspective le carré est nécessairement corrélé à la valeur du petit facteur premier. Et je pense que compter le nombre de carrés contenus dans un rectangle en partant du point médian est un exercice beaucoup plus simple que de chercher à faire la somme des diviseurs comme le fait Euler, surtout quand on ne connaît pas ces diviseurs.... en effet la série de développement des côtés du carré est la suite des nombres impairs, et la somme des cases de chaque carré est un multiple de huit.

Je me demande s'il existerait une formule arithmétique qui permettrait de compter à partir du point médian le nombre de carrés contenus dans un rectangle en travaillant avec la valeur du petit facteur comme limite et sans tomber dans le piège de la racine de N qui est le plus souvent supérieure à la valeur du petit facteur.

Qu'en pensez-vous ?

[hdci]

Je ne pense pas. Utiliser le point médian n'apporte rien de plus puisque cela revient à passer de N à (N+1)/2, on n'a pas gagné grand chose à l'affaire, et si une telle formule arithmétique existait alors le cryptage RSA n'aurait aucun intérêt.

Dans ce que vous décrivez ici

Il suffirait de partir du point médian en travaillant sur un rectangle dans lequel on place le grand facteur en haut à droite du rectangle

Cela suppose de connaître le grand facteur. Mais du coup si N=np et que n est le grand facteur, p est immédiatement connu...

[lyceen95]

Oui, tu donnes 3 informations (1ère case = n°1 , case du milieu = n°361, et dernière = n°721), mais en fait, il n'y a qu'une information utile, c'est que la dernière case porte le n°721.
La 1ère porte le n°1 ... oui, trivial
La case du milieu porte le n° au milieu entre 1 et 721 ... oui, trivial. Enfin, pas totalement trivial, puisque la case du milieu n'est définie que si on a un nombre impair de colonnes et un nombre impair de lignes. Donc, rigoureusement, avant de parler de case du milieu, on a besoin de dire que cette case existe, et pourquoi elle existe.

Ici, tu parles d'un rectangle dont la case du milieu vaut n ... Donc par hypothèse, le nombre 2n-1 n'est pas premier, sauf s'il s'agit d'un rectangle avec une ligne, et 2n-1 colonnes.

[Oli1]

Merci Lyceen95 pour ce complément d'information. Je partage avec vous l'idée que la case du milieu est tout sauf triviale. D'ailleurs si on abandonne le domaine de l'analyse arithmétique pour faire une analyse géométrique du tableau, on s'aperçoit vite que le point médian est la génèse de la forme future du tableau.

Toutefois comme vous l'écrivez, dire que le point médian est au milieu du tableau n'a rien d'une évidence. En ce sens et puisque vous semblez ne pas accepter l'expression 2n-1 proposée par hdci, comment procéderiez vous pour proposer une démonstration que le point médian se trouve bien au milieu du tableau ?

Je pense qu'une telle démonstration pourrait nous apporter des informations intéressantes sur la façon dont on construit un tableau rectangulaire de cases avec des côtés basés sur des nombres impairs.

[lyceen95]

Je ne comprends pas la question.
On a un tableau n*p, avec n et p impairs ; on a tous les nombres de 1 à n*p rangés dans l'ordre, 1 à n sur la 1ère ligne, n+1 à 2n sur la 2ème ligne etc, et l'objectif, c'est de montrer que le nombre qui se trouve au 'milieu' du rectangle, c'est (n*p-1)/2. C'est ça ?

C'est vraiment ça ???

Tout ce que je disais, c'est que le point milieu est défini uniquement si n et p sont impairs.
Mais dès que n et p sont impairs, ce point médian est bien défini, et le nombre qui s'y trouve vaut (n*p-1)/2.

S'il faut le démontrer, je te laisse le faire.

[Oli1]

Moi je ne sais pas le faire car je ne suis pas suffisamment fort en maths
Mais je trouve intéressante l'idée de pouvoir démontrer que le point situé au milieu du tableau et que l'on a instancié dans le cas présent comme étant la 361ème case du tableau est bien le point médian.
A priori si j'ai bien lu HDCI, c'est (n*p+1)/2 qui se trouve au milieu, et non pas (n*p-1)/2 qui désigne les points qui précèdent cette valeur centrale. Et justement parce que ce genre de confusion est facile à faire, une bonne démonstration mathématique permettrait je pense de clarifier tout ça.

[lyceen95]

Oui (np+1)/2 , pas (np-1)/2. Etourderie.

En fait, cette discussion m'inspire cette réflexion : les nombres premiers exercent une fascination très forte sur les gens qui ont des grosses lacunes en mathématiques. Les mathématiciens ne savent pas tout sur les nombres premiers, ils ne savent pas déterminer de façon simple si un nombre est premier ou non. Et très souvent, des gens totalement incompétents en maths s'imaginent pouvoir découvrir des recettes magiques que les matheux n'ont pas réussi à trouver, spécifiquement sur ce sujet des nombres premiers.
Et ça mène à des discussions ésotériques.

Ce constat n'est pas nouveau, mais je voulais partager cette réflexion ici.

[hdci]

Si la case n° n est la case "au milieu", cela veut dire qu'il y en a autant avant qu'après.
Donc il y a n-1 cases avant, et n-1 cases après
Il y a donc au total N=2(n-1)+1=2n-1.

On a donc bien N=2n-1 ce qui équivaut à n=(N+1)/2

[Oli1]

HDCI, vous dites n-1 cases avant et n-1 cases après, ou bien n-1 cases avant et n+1 cases après ?

[hdci]

Réfléchissez : s'il y a n-1 cases avant et n+1 cases après, est-on au milieu ?

Exemple : j'ai 10 cases avant et 12 cases après, est-ce que je suis au milieu ?

[Oli1]

Vous aviez écrit deux fois N-1 et pour moi il serait plus logique de dire que l'on est au milieu si l'on a N-1 cases avant et N+1 cases après. Cela suppose de compter de gauche à droite depuis le bord.

Maintenant c'est aussi une question de référent, car selon la symétrie que l'on utilise on pourrait aussi dire que l'on est à deux fois N-1. Dans ce cas on compte à rebours depuis le centre.

Comme vous le voyez tout ceci n'a rien d'évident.

[hdci]

Ben en fait si.
Car (n-1) plus (n-1) c'est bien deux fois (n-1)

Et c'est aussi la définition du milieu : "autant avant qu'après".