Déterminer extrema

[Ju64200]

Bonjour,
je n'arrive pas à trouver les points critiques de la fonction suivante :
f(x) = x^2.y +x.y^2 +2x.y

Mon avancé :
J'ai commencé par poser le système f'x =0 (x en indice) et f'y = 0
Ce qui donne : 2xy +y^2 + 2y =0
x^2 + 2xy + 2x = 0

A partir de là, j'ai factorisé la première équation par y : y . (2x + y + 2) = 0
Système : y . (2x + y + 2) = 0 (1)
x^2 + 2xy + 2x = 0 (2)

(1) : y=0 ou 2x + y + 2 = 0
y =0 ou y = -2x - 2

Donc si je remplace dans (2) y par 0 : x^2 + 2x = 0
x (x + 2) = 0
x = 0 ou x=-2

Je ne sais pas ce que je dois en conclure... remplacer les valeurs de x dans y = -2x - 2 ?
ce qui ferait y= -2 si x=0
et y=2 si x= -2

Etant donné que je dois trouver plusieurs extrema, les points critiques sont-ils (0;-2) et (-2;2) ?
Merci d'avance !

[phyelec]

Bonjour,

Vous ne vous y prenez pas de la bonne manière, c'est se qui ressort de ce vous écrivez.
Pour trouver les points critiques, il faut calculer les dérivées partielles de f(x,y) par rapport à x et à y, vous obtenez un système d'équation en x et y. Deux 2 inconnues, 2 équations.

df(x,y)/dx=..... =0
df(x,y)/dy=..... =0

[Ju64200]

"Ce qui donne : 2xy +y^2 + 2y =0
x^2 + 2xy + 2x = 0"

Le système est là, la première ligne pour la dérivée partielle de x et la seconde pour y...

[phyelec]

Je suis un peu perdu dans vos notations.
je trouve :

df(x,y)/dx=2xy +y^2 + 2y =0 => oui
df(x,y)/dy=2xy +x^2 + 2x=0

[Ju64200]

Ce sont les mêmes équations que les miennes...
Comment je dois m'y prendre pour résoudre ce système svp ?

[phyelec]

Oui, sorry, mais je n'avais pas bien saisie ce que vous écrit. veuillez accepter mes excuses.

[phyelec]

quand je résous ce système je trouve :
(x-y)(x+y+2)=0 ce qui donne y=x et y=-x-2, donc 2 équations de droites.

[phyelec]

il y a un souci x=y n'annule pas 2xy +y^2 + 2y =0 et 2xy +x^2 + 2x, par contre (0,0) oui. Il fait partie des points stationnaires

[Ju64200]

Je ne comprends pas votre résolution
J'ai détaillé la résolution de mon système pour trouver mon erreur et comprendre quelle est la marche à suivre pour avoir un raisonnement structuré ...
Ok pour vos 2 équations de droites mais d'où sort le (x-y)(x+y+2)=0 ?

[phyelec]

idem en remplaçant y par -x-2, 2xy +y^2 + 2y =0 et 2xy +x^2 + 2x ne s'annulent pas.

[phyelec]

j'ai un système avec 2 équations : j'ai soustraits l'une à l'autre.

[phyelec]

mais je suis d'accord cela n'aboutit pas à une solution en terme de points critiques.

[phyelec]

pour vos points (0;-2) et (-2;2),

pour (0;-2) on a bien 2xy +y^2 + 2y =0 , et 2xy +x^2 + 2x =0 donc OK, (-2,0) fonctionne aussi.
pour (-2;2), on a 2xy +y^2 + 2y =0 et 2xy +x^2 + 2x=-8+4-4 si pas d'erreur de calcul cela ne fonctionne pas

[phyelec]

Donc 3 points critiques (0,0),(0;-2) et (-2,0).

[Ju64200]

Ok il faut donc chercher toutes les solutions possibles avec le système et vérifier si elles annulent bien l'équation...
Merci

[phyelec]

je reviens sur le poste où j'ai écrit "idem en remplaçant y par -x-2, 2xy +y^2 + 2y =0 et 2xy +x^2 + 2x ne s'annulent pas." , en fait le système obtenu s'annule pour x=0 ou x=-2 se qui donne y=-2 ou y=0 soit les points (0,-2) et (-2,0).

[phyelec]

en fait en remplaçant y par -x-2 , j'ai trouvé :

2xy +y^2 + 2y= -x^2-2x=0
2xy +x^2 + 2x =-x^2-2x=0
donc x(x+2)=0 soit x=0 qui donne y=-2 et x=-2 qui donne y=0

[jlb]

Hello,
(-2/3;-2/3).........
Il te reste (0;0), (-2;0), (0;-2) et (-2/3;-2/3)
Et ensuite un bon dessin devrait t'aider pour comprendre la nature des points critiques...

Trace les droites x=0, y=0 et x+y+2=0
Place le point (-2/3;-2/3)
Et dans chaque zone, considère le signe de f
Par exemple, dans le 1er cadran (x>0;y>0) tu as f>0
Tu as 7 zones à tester...

[phyelec]

une précision pour trouver le point (-2/3;-2/3), comme y=x on remplace et on obtient :

2xx +x^2 + 2x= 2x^2x^2 + 2x=3x^2 + 2x=x(3x+2)=0 ce donne x=y=0 et x=y=-3/2

[Black Jack]

Bonjour,

Points critiques.
= 2xy +y^2 + 2y = 0
= x^2 + 2xy + 2x = 0

2xy +y^2 + 2y - (x^2 + 2xy + 2x) = 0
y^2 + 2y - (x^2 + 2x) = 0
(y+1)²-1 - (x+1)²+1 = 0
y+1 = +/- (x+1)

x = y ou x = -(y+2)

a) x=y
2x²+x²+2x=0
3x²+2x=0
x(3x+2) = 0

x=y=0 ou x=y=-2/3

b)
x = -(y+2)
y²+4y+4-2(y+2).y-2y-4=0
y²+4y+4-2y²-4y-2y-4=0
-y²-2y=0
y²+2y=0
y(y+2)=0

x=0 et y=-2
ou
x=-2 et y = 0

Points critiques : (0;0) , (-2/3;-2/3) , (0;-2) , (-2;0)
****************
A = = 2y
C = = 2x
B = = 2x + 2y + 2

AC-B² = 4xy - 4(x+y+1)²
AC-B² = 4xy - 4(x²+y²+1+2xy+2x+2y)
AC-B² = -4(x²+y²+1+xy+2x+2y)

Au point critique (0;0) --> AC-B² = -4 < 0 --> pas de max ni de min
Au point critique (0;-2) --> AC-B² = -4 < 0 --> pas de max ni de min
Au point critique (-2;0) --> AC-B² = -4 < 0 --> pas de max ni de min
Au point critique (-2/3;-2/3) --> AC-B² = -1/3 < 0 pas de max ni de min

Aucun calculs vérifiés et donc méfiance ... A faire.