Exercice analyse

[scaar]

Bonjour est ce que quel un peut m'aider sur ce DM svp

On considère la fonction f:]0;+∞[→R définie par 



f(x)=x+2/2−3/4⋅ln(2x+e).

(1) Montrer que Im(f)=]−1/4;+∞[.
(2) Montrer que l’équation f(x)=x admet une unique solution x0 dans le domaine de définition. 
(3) Montrer que pour tout x dans le domaine de définition, on a que |f′(x)|≤1/2.
(4) Utiliser le Théorème des accroissements finis pour montrer que pour tout x1 et x2 dans le domaine de définition de f(x) on a que:

|f(x1)−f(x2)|≤1/2⋅|x1−x2|.
5) On considère la suite (un) ainsi définie: u1=1 et un+1:=f(un); montrer que pour tout n≥2, on a que

|un+1−un|≤1/2⋅|un−un−1|.

[hdci]

Bonjour,

Donc la fonction est, après réduction et application des règles usuelles de calcul vue au moins depuis la seconde :


Question 1) : comment peut-on bien faire pour identifier l'image de la fonction ? Peut-être qu'une étude des variations avec recherche des minima et maxima...

Question 2) Qu'est-ce qu'on utilise comme théorème pour montrer de façon générale que admet au moins une solution, et quel complément pour dire qu'il n'y a qu'une seule solution ?
Que peut-on alors définir pour la fonction g, à partir de f, pour résoudre f(x)=x ?

Question 3) Quelle est la fonction dérivée de f ? A partir de la majoration de la valeur absolue, quel encadrement faut-il vérifier ? Partant de là, faire comme dans la question 1

Question 4) Que dit le théorème des accroissements finis ? Sachant la question 3, peut-on montrer (par l'absurde par exemple) l'inégalité proposée ?

Question 5) Comment utilise le résultat de la question 4 ici ?

PS. Qu'avez-vous déjà fait, essayé, réussi... dans ce devoir ?

[mathelot]

On considère la fonction f:]0;+∞[→R définie par f(x)=(x+2)/2−3/4 ln(2x+e).

? Où placer des parenthèses ?

[hdci]

@mathelot, c'était l'objet de ma première phrase avec la remarque sur les règles vues au moins depuis la seconde...)