Espace discret

[mathelot]

Bonjour,
merci de me rafraichir la mémoire. Quelle est la démonstration de la propriété suivante:

Soit un espace topologique. Un sous-ensemble fermé et discret, inclus dans un compact, est de cardinal fini.

Merci d'avance.

[hdci]

Bonjour,
S'il est discret alors il existe un ouvert autour de chacun de ses points et ces ouverts sont disjoints deux à deux. Ces ouverts constituent un recouvrement de l'ensemble discret.
Comme c'est un fermé dans un compact, c'est un compact donc du recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini.
Or on ne peut retirer du recouvrement aucun des ouverts puisqu'ils sont disjoints deux à deux et que chacun contient exactement un élement de l'ensemble.
Le nombre d'ouverts est donc fini donc l'ensemble est fini.

[mathelot]

merci.
Cette question est motivée par le fil lycee/etude-fonction-t228649.html