Arithmétique
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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emilie943
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par emilie943 » 26 Déc 2020, 16:33
Bonjour
Soient p ∈ ℕ et q ∈ ℕ tels que p divise q. Démontrer que
divise
Comment puis-je faire ?
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emilie943
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par emilie943 » 26 Déc 2020, 16:34
Soient p ∈ ℕ et q ∈ ℕ tels que p divise q. Démontrer que
divise
2. Soient a ∈ ℕ et b ∈ ℕ tels que a ≤ b. Démontrer que
divise
3. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, n + 1 ≤
b. En déduire que pour tout entier n ≥
divise
4. On pose pour tout entier n ≥ 0, Fn =
Démontrer que Fn divise
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Rdvn
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par Rdvn » 26 Déc 2020, 17:23
Le lien en rouge permet de conclure suite à ma première indication :
propriété de a^n-b^n
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emilie943
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par emilie943 » 26 Déc 2020, 23:53
pour la question 2 est ce que
divise
parce que
et que donc
et que les puissances de
sont divisible entre elles
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 00:21
2^b=(2^a).( 2^(b-a) )
sachant 0<2^a , on est bien dans les conditions de la question 1 avec p=2^a et q=2^b
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 27 Déc 2020, 04:33
Salut !
Supposons que
divise
; alors
est un entier.
Pour la question 1, je considère la suite géométrique
définie pour tout entier naturel
par
. En exprimant la somme
des
premiers termes de la suite géométrique
, montre qu'en fait on a
.
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emilie943
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par emilie943 » 27 Déc 2020, 15:00
Rdvn a écrit:2^b=(2^a).( 2^(b-a) )
sachant 0<2^a , on est bien dans les conditions de la question 1 avec p=2^a et q=2^b
On pose
et
comme
, on est dans le mêmes conditions que dans la question 1
si
divise
alors
divise
donc
donc
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 16:09
Tout cela est bien compliqué .
La solution que je vous propose c'est tout simplement :
(2^a).(2^(b-a))=2^(a+b-a)=2^b
et donc 2^a divise 2^b
il n'y a rien de plus à justifier :
sachant 2^a>0 , 2^b>0 on applique la question 1
Je reviens sur la question 1 :
en terminale maths expertes, l'égalité que j'avais utilisée (lien en rouge) est au programme
sous forme z^n-a^n .
Ou bien vous pouvez utiliser la solution de capitaine nuggets, comme vous voulez.
Proposez vos essais
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emilie943
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par emilie943 » 27 Déc 2020, 18:12
ah d'accord j'ai compris ensuite on pose p=2^a et q=2^b et on peut conclure avec la question 1
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emilie943
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par emilie943 » 27 Déc 2020, 18:32
pourriez vous me donner quelques pistes pour la question 4 s'il vous plait ?
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emilie943
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par emilie943 » 27 Déc 2020, 18:34
4. On pose pour tout entier n ≥ 0, Fn =
Démontrer que Fn divise
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 18:38
Pour p=2^a et q=2^b c'est bien cela (d'ailleurs déjà suggéré)
Pour le reste : tout à l'heure (je n'ai pas le temps pour l'instant)
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 19:09
Êtes vous bien sure de votre énoncé ?
Fn n'est pas la mème chose dans l'énoncé initial et la dernière demande ...("+1 " est apparu...)
Je n'ai pas le temps pour le moment ...
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 19:15
Non en fait +1 a changé de place, vérifiez la question posée
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 21:18
Finalement j'ai réussi à trouver 5 mn,
mais j'ai du mal à écrire proprement les cascades d'exposants, et les indices.
A montrer :
Fn=2^(2^n)+1 divise (2^Fn)-2
1) 2^(2^(n+1))-1=2^(2(2^n))-1=(2^(2^n))^2-1=(2^(2^n)+1).(2^(2^n)-1)=k.Fn
on a utilisé x^2-1=(x+1)(x-1)
2)(2^Fn)-2=2((2^(Fn-1))-1)
avec Fn-1=2^(2^n) et la question précédente on a le résultat
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emilie943
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par emilie943 » 27 Déc 2020, 23:09
Rdvn a écrit:Êtes vous bien sure de votre énoncé ?
Fn n'est pas la mème chose dans l'énoncé initial et la dernière demande ...("+1 " est apparu...)
Je n'ai pas le temps pour le moment ...
erreur de frappe dans l'énoncé, la dernière demande est la bonne
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 23:15
C'est ce que j'ai considéré : dans Fn on reconnait un nombre de Fermat
Ma dernière réponse ci dessus est la solution complète du 4
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emilie943
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par emilie943 » 27 Déc 2020, 23:32
pourquoi part-on de
?
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Rdvn
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par Rdvn » 27 Déc 2020, 23:43
On a idée que la question précédente (3b) va être utile, tout en essayant de se rapprocher de Fn .
Après ça, en math, on cherche, l'idée vient ... ou non...
Fin pour ce soir :
travaillez ma solution étape par étape, pour voir si vous comprenez chaque calcul effectué.
On verra ensuite les questions en reste ...
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