Opérations sur des sommes

[VincentVega]

Bonjour à tous,
je n'arrive pas à comprendre cette égalité, quelqu'un peut m'éclairer?

[hdci]

Bonjour,
La somme de gauche c'est

Elle s'appelle "produit de Cauchy"

Le produit des deux sommes de droite c'est


Si les deux séries de terme (a_n) et (b_n) sont absolument convergente, il y a alors égalité. Cela résulte, en gros, du fait que dans une famille sommable, l'ordre des termes n'a pas d'importance et quand on développe la somme de droite, on retrouve les termes de la somme de gauche, et chaque terme de la somme de gauche est égal à un seul des termes développés de la somme de droite. S'il n'y a pas absolue convergence, on ne peut rien dire (l'absolue convergence est une condition suffisante pour avoir ce résultat)

[mathelot]

On partitionne l'ensemble des indices NxN en une réunion dénombrable de segments
d'équation p+q=n pour n=0 à l'infini

En supposant les réels et positifs, on a donc:

pour p,q,n,N entiers naturels:

[VincentVega]

Merci à vous deux !

[mathelot]

En supposant les réels et positifs, on a donc:

pour p,q,n,N entiers naturels:

Grâce au théorème des gendarmes, le produit de Cauchy tend vers le produit des deux séries
quand N tend vers l'infini: