Sous-espace de C^2([0,1]) dense dans L^2([0,1])

[zwijndrecht]

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer que l'espace est dense dans .
Je sais que est dense dans , mais je ne vois pas comment en déduire ce résultat "plus précis"...

J'ai bien pensé à montrer (mais est-ce vrai ?) que était dense dans , en considérant, pour , et pour , la fonction définie par ,
avec de plus affine sur et sur
On a , avec, pour tout , continue vérifiant et .
Mais le problème, c'est que les ne sont a priori pas dérivables sur tout entier (problème en , en et en ), en donc a fortiori, encore moins ...

Comment pourrais-je faire ?

Merci d'avance pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu peux régulariser ta fonction. Par exemple en utilisant un produit de convolution.

[zwijndrecht]

C'est à dire ?

[GaBuZoMeu]

N'as-tu jamais vu de bricolages où on convole par une fonction du genre où si et sinon, avec la constante choisie pour que l'intégrale de soit 1 ?

[zwijndrecht]

Si (avec les unités approchées), mais je ne vois pas trop comment ça pourrait m'aider dans le cas présent, puisqu'il faut absolument "fixer" la valeur en 0 et la valeur de la dérivée en 1...

[GaBuZoMeu]

Ben, si tu régularises la fonction ...

[zwijndrecht]

Ok, alors je tente :
Si je considère l'approximation de l'unité , avec (en reprenant tes notations) et si je pose
On sait que :
- pour tout et pour tout , est de classe car est de classe et ;
- pour tout ,
On sait aussi que , et donc que
Pour , on a donc , ce qui implique que et .
En particulier, pour , on a .

Soit maintenant .
Soit tel que .
Pour , .
Il existe tel que, pour tout , on ait .
Pour , on a donc et .

C'est correct ?