Décomposition en élément simple

[elvis77]

Bonjour,

J'ai un doute pour calculer les coefficients dans une DES, voici la fraction :



Je trouve :



avec



et ma question porte sur les (je ne suis pas sûr, pour les autres coefficients, pas de soucis)

Je trouve :

Merci pour votre aide ou vérification, cordialement.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je trouve l'opposé en évaluant en : l'un de nous deux s'est trompé de signe.

[elvis77]

Merci de vous être penché sur mon calcul, c'est normal de trouver l'opposé, j'ai modifié quelque peu l'énoncé et oublié cette histoire de signe.

En tout cas, je suis soulagé que nous trouvions la même chose, en plus avec une forme plus élégante de votre part ce qui m'aidera pour la suite de mes calculs.

Un grand merci !

Cordialement.

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.

Serais-tu en train de calculer le nombre de façons de payer n centimes en pièces de 1,2 et 5 centimes ?
Si oui, s'embêter avec les , c'est se compliquer beaucoup la vie.

[elvis77]

Héhé, bien vu. Remarque, avec la tête de la fraction rationnelle, elle ne peut servir qu'à cela.
Dans le FGN Analyse 2, une application est proposée en faisant ensuite le DSE on obtient :


avec selon la congruence avec 5 donc je pensais utiliser les mais je bloque d'où ma question de départ : je voulais m'assurer que les étaient juste.

Si vous avez une solution sans les je suis preneur.

Merci,

Cordialement.

[GaBuZoMeu]

Écrire la partie polaire relative aux pôles sous la forme



avec polynôme de degré , et ensuite pour développer en série entière écrire ça sous la forme

[elvis77]

Merci pour votre réponse mais je bloque sur le DSE, je suis "habitué" à faire des DSE sur les types de fonction bien connus après avoir faire une DES mais là je ne vois pas comment procéder ?
Cordialement.

[GaBuZoMeu]

Tu as un problème avec le développement en série entière de quoi ?

[elvis77]

Je n'arrive pas à faire le DSE de

car d'habitude je mets en élément simple pour pouvoir faire le DSE mais là je ne vois pas comment faire ? Merci pour votre aide.

Cordialement.

[GaBuZoMeu]

Je parie que tu sais écrire le développement en série entière de . Et après, multiplier cette série entière par le polynôme de degré , ça vient tout seul. Non ?
Mais n'y passe pas le réveillon !

[elvis77]

Merci pour la réponse.

J'obtiens : et si je développe en prenant

j'ai :

et ensuite je doit prendre le coefficient qui correspond à mais je suis bloqué.

Peut-être qu'il vaut mieux exploiter cette écriture :

?

[elvis77]

Cordialement.

PS : \seq ne semble pas fonctionner pour écrire "supérieur ou égal"

[mathelot]

\geq

[GaBuZoMeu]

Il faut tout de même calculer le polynôme P (plusieurs manières de le faire).
Après, on aura une série entière avec des coefficients de dépendant de modulo 5.

[elvis77]

Après de pénibles calculs, j'obtiens :



puis le DSE :



mais je n'arrive pas "à voir et conclure modulo 5", je n'arrive pas à écrire quelque chose comme :



Cordialement.

[elvis77]

J'ai une idée mais je n'arrive pas à la formaliser :

Faire un changement d'indice à l'aide de la partie entière de .

Je sens bien que si n est congru à 3 ou 4 modulo 5 on obtient -1 puisque c'est le signe qu'il y a devant et . De même si n est congru à 0 ou 2 on obtient +1 et pour n congru à 1 on obtient 0 car il n'y a pas de terme en mais je n'arrive pas à le formaliser.

Merci.

Cordialement.

[elvis77]

Je pense avoir trouvé une explication satisfaisante.

Par exemple, on écrire :

Puis de comprendre qu'on partitionne n selon les différentes congruences modulo 5, on pourrait l'écrire de la façon suivante :



Ainsi on obtient le coefficient devant .

Merci pour votre aide.

[elvis77]

Oups, pour l'avant-dernier il y a un facteur 0 devant...

[GaBuZoMeu]

La solution du paresseux : demander à un esclave numérique de faire le boulot (ici SageMath) :

Code: Tout sélectionner

x=var('x')
F=1/(1-x)/(1-x^2)/(1-x^5)
DES=F.partial_fraction_decomposition()
print("Décomposition en éléments simples sur les rationnels :")
print(DES)
print("Numérateur du premier élément simple multiplié par 1-x :")
print((DES[0].numerator()*(1-x)).expand())

Décomposition en éléments simples sur les rationnels :
[1/5*(x^3 + 2*x^2 + x + 1)/(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), 1/8/(x + 1), -13/40/(x - 1), 1/4/(x - 1)^2, -1/10/(x - 1)^3]
Numérateur du premier élément simple multiplié par 1-x :
-x^4 - x^3 + x^2 + 1

[elvis77]

C'est ce que j'avais fait en premier lieu avec Wolfram en ligne mais je voulais vérifier si le logiciel n'avait pas fait une erreur

C'est plutôt l'esclave qui demande au maître-numérique... A méditer !