Exercice suite géométrique (corrigé)

[bofenmaths]

Bonjour,

Je viens de faire cet exercice de suite géométrique.
Quelqu'un pourrait-il confirmer ou infirmer mes réponses s'il vous plaît ?

Merci d'avance !

Voici l'énoncé:

Sophie souhaite réaliser son arbre généalogique. Avant de commencer, elle veut se faire une idée du nombre d'ancêtres qu'elle pourrait retrouver.
Elle part du principe qu'elle a 2 parents, 4 grands-parents, 8 arrières grands-parents, etc.
En supposant que nous appartenons à la génération 1, que nos parents appartiennent à la génération 2, nos grands-parents à la génération 3, etc.

On note (Un) la suite représentant le nombre d'individus à la génération n (avec n > 0 ).

1) Exprimer (Un+1) en fonction de (Un).

Un+1 = 2 Un

2) La suite est-elle géométrique ou arithmétique ? Vous justifierez la réponse en donnant les paramètres de cette suite.

C’est une suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison q = 2

3) Exprimer (Un) en fonction de n.

Un= 2^n-1 * 1

(n-1 car on on part de U1, mais je ne suis pas sûr ?)

4) Combien d'ancêtres de Sophie figurent à la 5ième génération ?

U5 = 1 * 2 ^ (5 – 1) = 16

U1 = 1 U2 = 2 U3 = 4 U4 = 8 U5 = 16

16 ancêtres figurent à la cinquième génération.


5) Combien de personnes l'arbre généalogique de Sophie comporterait si on remontait jusqu'à la 20ème génération ? Selon qu'il s'agit d'une suite géométrique ou arithmétique, vous utiliserez la formule des sommes des termes d'une suite arithmétique ou géométrique.

U1 + U2 + U3 + … + U20
= 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2^20
= 1 * 1 – (2^20) / 1 – 2
= 1 048 575 ancêtres

6) Quelle(s) hypothèse(s) implicite(s), dans l'énoncé et en matière de consanguinité, a rendue possible vos calculs ?

Pour passer d’une génération à la génération précédente, on multiplie par toujours par 2 car un enfant a nécessairement 2 parents.

[hdci]

Bonjour,

1) Exprimer (Un+1) en fonction de (Un).

Un+1 = 2 Un

Correct

2) La suite est-elle géométrique ou arithmétique ? Vous justifierez la réponse en donnant les paramètres de cette suite.

C’est une suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison q = 2

Presque correct : que dit l'énoncé au sujet de n ? Le premier terme est-il bien ...

3) Exprimer (Un) en fonction de n.

Un= 2^n-1 * 1

Correct (puisqu'ici vous partez bien "du bon départ"), sauf sur la rigueur de l'écriture : ce que vous avez écrit, c'est "deux exposant n, puis on soustrait 1" alors que vous vouliez certainement écrire 2 exposant "le précédent de n". Il manque des parenthèses...
(Lar remarque peut sembler anodine car "on a compris", mais justement non : en maths, la rigueur est de mise. L'absence de rigueur mène à des ambigüité, donc à des incompréhensions puis de graves erreurs)

Vous n'avez pas besoin d'écrire a multiplication par 1. Il est même conseillé de ne pas l'écrire pour alléger l'écriture (et la lecture). Quand vous achetez une baguette à 0,95 euri, le boulanger ne vous dit pas "une fois 0,95"...

4) Combien d'ancêtres de Sophie figurent à la 5ième génération ?

U5 = 1 * 2 ^ (5 – 1) = 16

U1 = 1 U2 = 2 U3 = 4 U4 = 8 U5 = 16

Exact, mais mettez bien des séparateurs car on peut croire que vous avez écrit :
U1 est éga à 1 fois U2, ce qui est égal à 2 fois U3 etc."

5) Combien de personnes l'arbre généalogique de Sophie comporterait si on remontait jusqu'à la 20ème génération ? Selon qu'il s'agit d'une suite géométrique ou arithmétique, vous utiliserez la formule des sommes des termes d'une suite arithmétique ou géométrique.

U1 + U2 + U3 + … + U20
= 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2^20
= 1 * 1 – (2^20) / 1 – 2
= 1 048 575 ancêtres

"Correct" mais mettez bien les parenthèses car l'écriture est archi fausse sinon : là je comprends qu'on multiplie 1 par 1, puis on soustrait 2 exposant 20 divisé par 1, puis on retire 2, alors que vous vouliez certainement écrire
1*(1-2^20)/(1-2)
Soit en écriture fractionnaire :

6) Quelle(s) hypothèse(s) implicite(s), dans l'énoncé et en matière de consanguinité, a rendue possible vos calculs ?

Pour passer d’une génération à la génération précédente, on multiplie par toujours par 2 car un enfant a nécessairement 2 parents.

Je pense que vous n'avez pas compris la question puisque vous n'utilisez pas le critère de consanguinité.
Que signifie ce terme de "consanguinité" ?
Une autre façon de le voir : une génération c'est environ 25 à 50 ans. Prenons 50. Donc 2000 ans, c'est 40 générations. Par conséquent, le calcul donne le nombre d'ancètres à la 40ème génération :
500 milliards.
Y avait-il 500 milliards d'êtres humains en l'an 0 ? Par conséquent, pourquoi la formule (correcte au demeurant pour une suite géométrique) ne fonctionne-t-elle pas si bien ?

[bofenmaths]

Merci pour toutes ces explications !

Le sujet ne précise pas si le premier terme est U0 ou U1. Le choix semble laissé.

Je ferai davantage attention à l'écriture désormais, merci

[hdci]

Le sujet ne précise pas si le premier terme est U0 ou U1. Le choix semble laissé.

En fait si le sujet le précise ici

On note (Un) la suite représentant le nombre d'individus à la génération n (avec n > 0 ).

[lyceen95]

Et tu n'as toujours pas répondu (correctement) à la question 6.

[bofenmaths]

Le sujet ne précise pas si le premier terme est U0 ou U1. Le choix semble laissé.

En fait si le sujet le précise ici

On note (Un) la suite représentant le nombre d'individus à la génération n (avec n > 0 ).

Si j'ai bien compris, n étant strictement supérieur à 0, le premier est donc U1 ?

[bofenmaths]

Et tu n'as toujours pas répondu (correctement) à la question 6.

Honnêtement je ne comprends pas le sens de cette question

La définition de "consanguinité" est: résultat d’une reproduction sexuée entre deux individus partageant un ou plusieurs ancêtres communs.

Hormis dire qu'un enfant a nécessairement 2 parents, je ne trouve pas d'autre élément de réponse.

[hdci]

signifie donc que et commence à 1. Donc oui le premier terme est

Quant à la question 6, quelle doit être la réponse... ?
Reprenez ce que j'ai indiqué : si 40 générations correspondent à peu près à 2000 ans, alors le nombre d'ancêtres en l'an 0 est égal à 500 milliards environ.
Mais y avait-il 500 milliards d'individus en l'an zéro (sachant qu'aujourd'hui on est "à peine" à 8 milliards ?)

pourtant je garantis que les formules mathématiques utilisées sont correctes.
Comment expliquer cet écart, autrement que par...

(Indication : quand on dit 500 milliards, on dit "500 milliards d'individus différents". Autrement dit, sachant qu'en l'an 0 ils étaient moins de 1 milliard, comment peut-on faire pour en dénombrer 500 milliards, donc quelle est la conclusion par rapport à "500 milliards d'individus différents"