Résoudre une équation d'inconnue P appartenant à R[X]

[thoralf8weblen]

Bonsoir,

Je rencontre une difficulté sur un exercice assez élémentaire. Cela m'agace quelque peu.
Voici l'exercice:

Résoudre les équations suivantes, d’inconnue P ∈ R[X] :

X^2P"+ 2XP' − 2P = 0

X^2P" + 2XP' - P = 0

J'ai posé P = anX^n + ... + a0 avec (an,...,a0) appartenant à R
J'ai dérivé P deux fois pour avoir P' et P" puis j'ai remplacé dans les expressions de départ. Après cela, je ne vois pas comment faire pour déterminer P. Je pensais aller du côté du degré de P.
En faisant ça, j'ai développé les expressions de départ en remplaçant P, P' et P".
J'ai essayé d'isoler X^n afin d'avoir le degré de P mais ça ne mène pas bien loin...

Je suis en panne d'inspiration...
Merci d'avance pour votre aide !

[Sa Majesté]

J'ai essayé d'isoler X^n afin d'avoir le degré de P mais ça ne mène pas bien loin...

Qu'obtiens-tu ?
Mon 6000ème message

[thoralf8weblen]

J'obtiens:
[an*n*(n-1) +2(an)*n - 2(an)]X^n pour la première équation

[an*n*(n-1) +2(an)*n - an]X^n pour la deuxième équation.

les an correspondent aux coefficients devant les X^n.

[Sa Majesté]

Tu peux factoriser par et simplifier

[thoralf8weblen]

C'est bien ce que j'ai fait...

Je tombe, pour la deuxième sur an[n^2 + n - 1]. Je pense que je bute sur une évidence car je ne vois pas la simplification...

[Sa Majesté]

Je tombe, pour la deuxième sur an[n^2 + n - 1]

Egal quoi ?

[thoralf8weblen]

Egal 0...

an différent de 0 sinon on aurait le polynôme nul. Donc n^2 +n - 1 = 0 . Je bloque sur n^2 +n = 1.

[Sa Majesté]

n est un entier
Est-ce que n²+n-1 peut être nul ?

[thoralf8weblen]

Si n^2 + n = 1, la réponse est non. Mais si n^2 + n -1 est non nul, alors an est nul car nous sommes sur un aneau intègre. Or an n'est pas nul par définition...

[Sa Majesté]

Je conseille de traiter les cas des "petites" (0 et 1) puissances de X à part car les dérivées secondes sont nulles.

Si je prends

Pour k=0, on obtient
Pour k=1, on obtient

Et pour k=2 à n, on obtient donc puisque ne peut pas être nul.

Ce qui signifie que la seule solution est le polynôme nul.

Reste à traiter la 1ère équation.

[thoralf8weblen]

Oui, je crois que je me suis emmêlé les pinceaux avec les deux équations à force d'essayer de les résoudre. Je comprends. Merci beaucoup !