Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (Terminale S)

[AIR1]

Bonjour, j'ai un dm de maths sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

Énoncé :
Les suites arithmétiques et géométriques sont des suites récurrentes linéaires d'ordre 1.
On va étudier les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, c'est-à-dire telles que pour tout entier naturel n,

où a et b sont des nombres réels.

Soit () la suite définie par et et pour tout entier naturel n,

1. On cherche deux réels α et β distincts tels que les suites () et () définies par et soient deux suites géométriques de raisons respectives β et α.
(a) Montrer que α et β sont les solutions de l'équation
(b) En déduire les valeurs de α et β. On prendra α < β.

2. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n.
(b) Déterminer l'expression du terme général de la suite ().
3. En déduire l'expression du terme générale de la suite ().

Résolution:
1)a) Je n'arrive pas à faire le lien entre les deux suites qui nous sont données et l'équation. J'ai ensuite regardé une vidéo qui expliquait que l'équation qu'on nous donne c'est l'équation caractéristique de la suite à après j'ai arrêter de regarder ça devenait trop compliqué.
b) Je trouve = -1 et et donc α = -1 et β =
2)a) Pour démontrer j'utilise la formule explicite d'une suite géométrique
b) Je trouve

3) Je n'arrive pas à faire le lien entre les deux formules explicites de (vn) et (wn) et la formule explicite de (un).

Merci d'avance pour votre aide

[Sa Majesté]

Tu veux que () soit une suite géométrique de raison donc que pour tout n


Or

[AIR1]

J'ai fait pareil pour :



Donc j'ai :
et

Après ça j'ai essayé de faire un système avec les deux égalités mais je n'y arrive pas.
J'ai aussi essayé de remplacer par ce qu'il y a dans l'énoncé mais pareil je ne sais pas quoi faire après.

[Sa Majesté]

Il suffit de touiller ...

[AIR1]

Merci beaucoup je pense avoir compris. A la fin je trouve :


Ensuite j'ai résolu l'équation et je tombe bien sur -1 et .

[AIR1]

Par contre je ne comprends pas la dernière question. Comment peut-on déduire l'expression générale de () avec les éléments trouvés précédemment?

[Sa Majesté]

J'ai l'impression que tu ne cherches pas beaucoup

[AIR1]

Ca me donne .
Mais je comprends pas pourquoi le fait de faire me donnerait l'expression du terme générale de ().

[Sa Majesté]

[AIR1]

Merci beaucoup pour ton aide.

[Riccardo]

Salut AIR1
S'il vous plaît, comment avez vous trouvez les valeurs de alpha et bêta à l'aide du système ?
J'ai le même exercice et je n'y arrive pas

[Sa Majesté]

(1)

(2)

(3)

(4)

Il suffit de touiller ...

(1) et (2) donnent :

Avec (3) et (4) :

[Riccardo]

Malgré après avoir mis cette expression dans le système je n'arrive pas aux valeurs de alpha et de bêta

[Sa Majesté]

pour tout n.

Pour n=1


Etc ...

[Riccardo]

Merci beaucoup pour votre aide

[Sa Majesté]

Je viens de corriger mon erreur de signe