Suite réelle

[Ich]

Bonjour ,
Un +1 = sqrt (2Un+ 3)
On 0< 3 - Un < 3 (2/5)^n
Vn = n (3-Un)
Et on Vn <( 4/5 )^( n-1)
Sn = somme de k =1 à n de kUn
Question :
Montrer que 0 < 3n( (n+1)/2) - sn < 5 (1- (4/5)^n )
Merci

[Elboy55]

Hola lch,
Pour montrer 0 < 3n( (n+1)/2) - sn
tu dis que Sn= somme de k =1 à n de kUn= n*Un*(n+1)/2 or Un > 3 donc -Un < -3 en multipliant par n(n+1)/2 on a -Un*n*(n+1)/2< -3n*(n+1)/2 et ainsi l'inégalité souhaitée.
Pour la deuxième inégalité, on a 3n( (n+1)/2) - sn=(3-Un)*n*(n+1)/2= Vn*n*(n+1)/2< ((4/5)^(n-1)) * (n+1)/2
ensuite on montre par récurrence que:
((4/5)^(n-1)) * (n+1)/2<5 (1- (4/5)^n )