Exercice sur les séries

[akiwhite]

Bonjour,

je bloque sur l'exercice suivant :

Etudier la série pour tout de terme général :
, .

Procédons par disjoncton de cas :
Pour α = 0 on a Un qui est égal a 1/n donc la somme diverge,
pour α = 1 on a Un égal a 1 sur la somme des k donc on a dont la série est convergente car somme des 1/n² equivalent a 1/(n² + n) or 1/n² diverge.
Pour tout α > 1 on a donc un dénominateur strictement supérieur que pour α = 1 donc Un converge (est ce une justification suffisante ?)
et pour le reste, je n'ai pas vraiment de piste ..

Merci d'avance pour votre aide !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu peux essayer de minorer le dénominateur de façon à majorer le terme général par le terme général d'une série qui converge pour .

[akiwhite]

On a
La partie de gauche est égale a puis equivalente a
d'ou pour tout alpha > 1/2 Un converge en utilisant la comparaison a la série de reimann

je ne sais pas si c'est juste, mais j'ai du mal a trouver un minorant pour alpha > 0
Pourrais tu m'aiguiller un peu plus ?

[GaBuZoMeu]

Parmi les n nombres 1,2,...,n, la moitié sont plus grands que n/2.