Bonjour,
Je cherche à résoudre le problème suivant :
Soit
,
dans
et
.
On cherche une solution
telle que :
1) Déterminer la formulation variationnelle de ce problème
2) Montrer qu'il existe
tel que si
, le théorème de Lax-Milgram assure l'existence et l'unicité d'une solution de ce problème.
Pour la question 1, j'ai trouvé :
Soit
.
On cherche
telle que, pour tout
,
, ce qui donne :
(en utilisant la formule de Green et le fait que
soit nulle au bord).
Pour la question 2, j'ai posé :
(bilinéaire continue)
(linéaire continue)
Pour appliquer Lax-Milgram, il faut montrer que la forme bilinéaire continue
est coercive, i.e. qu'il existe
tel que
, pour tout
.
On a :
, où
est la constante obtenue via l'inégalité de Poincarré (applicable car
est un ouvert régulier borné)
Mais ensuite, je ne vois pas comment minorer le second terme...
Pourriez-vous me mettre sur la voie ?
Merci d'avance pour votre aide.