Je comprends pas la correction d'un ex sur la dérivation

[MaryM]

Bonjour, j'ai une correction d'exercice mais je comprends pas pourquoi pour savoir a quelle moment C et en dessous de T il faut faire l'étude de signe de la différence et pourquoi on cherche a écrire x**3 - 3x +2 sous la forme (x-1)(ax**2+bx+c), a quoi correspond (x-1) et le trinôme ?

Le consigne : On considère la courbe C représentative de la fonction de la fonction f sur R par f(x)=x**3 et T la tangente à C au point A d'abscisse 1. Etudier les position relative de C et T.
La correction:
https://www.casimages.com/i/201211122420390342.jpg.html

https://www.casimages.com/i/201211121418581574.jpg.html

Merci,

[mathelot]

bonjour,
on détermine l'équation de et l'équation de la tangente en

On détermine pour quelle valeurs de x,



soient x réel, f(x) l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x et l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse x.
Quand la différence est positive ou nulle , la courbe est située au dessus de sa tangente et quand est négative ou nulle, la courbe est située sous sa tangente.
comme on en déduit, en étudiant son signe, que la courbe est située au dessus de sa tangente sur l'intervalle et que la courbe est située au dessous de sa tangente sur

PS: La courbe de f et la droite tangente T ont deux points d'intersection d'abscisses -2 et 1.
En x=1, l'abscisse est racine double de f(x)-y_T, ce qui correspond à un point de tangence et une racine simple car la courbe traverse sa tangente au point de la courbe d'abscisse -2.

[Chrichrass]

A noté qu'on cherche le signe d'un polynôme de degré 3. La factorisation par (x-1) vient du fait qu'on peut remarquer en remplaçant x par 1 que 1 est racine de ce polynôme. On peut donc l'écrire (x-1)*P(x) où P(x) est un polynôme de degré 2 dont on connait des méthodes pour trouver le signe.

C'est une "astuce" de calcul souvent utile pour déterminer les racines et le signe d'un polynôme de degré 3, on peut essayer de le factoriser pour obtenir un produit d'un polynôme de degré 1 et 2 plus facile à étudier.

[mathelot]

[mathelot]

on pose
on a:


1 est racine de h et aussi de sa dérive h', c'est donc une racine double de h.
h est donc factorisable par
il existe réel tel que
. On en déduit que a=-2 et donc

[MaryM]

Merci beaucoup pour vos explications )))