Lebesgue

[CorentinD]

Bonjour ,

J'ai des difficultés avec un exercice.

Soit la fonction définie sur par et sinon

Soient une bijection de vers et une suite de fonctions sur tel que :
.

1) Montrer que converge simplement vers non bornée sur tout intervalle ouvert non vide de

2) Montrer que pour - presque tout

3) Montrer qu'il existe un borélien de mesure non nulle tel que (la restriction) est bornée

Je commence :

1)
J'aimerais utiliser le théorème de convegence monotone.
est mesurable
Mais je n'arrive pas à montrer que est croissante. En effet : .
Donc mais comment savoir le signe de

2)
Pour montrer que je pense montrer que est intégrable.
Je pose
Et pour montrer que est intégrable il faut montrer que

a) est mesurable :
est mesurable (car fonction continue par partie) donc est mesurable donc est la somme de fonctions mesurables donc est mesurable .

b) est fini
Or donc il faut que je montre que
c'est-à-dire

Mais je ne vois pas comment montrer que $\int_R |\sum{n \geq 1}\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \phi(x -r_k) | dx$ est fini

3)
Je ne comprends pas bien s'il faut montrer une existence d'un borélien non nulle tel que est bornée ou s'il faut trouver A.
J'ai tout de même essayé de trouver A. Donc A est je pense un intervalle ouvert et il faut que sa mesure soit non nulle.
Donc par exemple si je prends sa mesure (la mesure de Lebesgue) est 1 , c'est donc bien non nulle et . Mais je ne vois pas comment vérifier que la restriction est bornée



Je vous remercie d'avoir pris le temps de lire

Bien cordialement

[mathelot]

Je commence :

1)
J'aimerais utiliser le théorème de convegence monotone.
est mesurable
Mais je n'arrive pas à montrer que est croissante. En effet : .
Donc mais comment savoir le signe de

ne prend que des valeurs positives ou nulles. La suite (f_n) est donc croissante

[mathelot]

Comme la série est à termes positifs, elle est commutativement convergente.
est la mesure de Lebesgue

[CorentinD]

Ah d'accord je n'avais pas compris que prenait des valeurs positives ou nulles vu qu'il y avait écrit " définit sur " .
Si je reprends
1) est mesurable et ( est croissante donc d'après le théorème de convergence monotone la fonction tel que

Mais en fait je me rends que cela ne correspond pas à la question ...
Avez-vous une idée du raisonnement à faire s'il vous plaît ?

Pour information je n'ai pas vu ce que c'était une série commutativement convergente ...

[mathelot]

Une série commutativement convergente a la même limite quel que soit l'ordre des termes que l'on somme. On peut écrire, dans ce cas,
où I est l'ensemble des indices et u_i le terme général de la somme

[CorentinD]

Oui d'accord j'ai compris je vous remercie

Et pour montrer que est non borné sur tout intervalle ouvert non vide de
Comment peut-on faire ?

[mathelot]

On doit avoir:

soit


On appelle I l'ensemble d'indices
d'où


Peut on voir en f(x) une intégrale de Lebesgue ?

[mathelot]

je remonte l'énoncé (que je trouve passionnant) mais qui dépasse mon niveau de maths.
Peut être, cet énoncé inspirera-t-il quelqu'un ?