Ceci dit, la méthode proposée peut sembler "tirée du chapeau", pourquoi avoir calculé
(parce que
jlb a l'habitude de voir ces identités remarquables à l'avance, très certainement, mais ce n'est pas forcément le cas d'un élève de seconde).
Voici une autre méthode, plus directe :
(1) les racines carrées sont toujours très embêtantes à manipuler. Il faudrait donc se débarrasser de la racine carrée, et pour cela, on a envie de tout élever au carré.
Mais attention, cela n'est possible simplement que si les deux membres sont positifs : en effet, si a et b sont deux nombres positifs, alors a<b est équivalent à a²<b². Mais si l'un des deux au moins est négatif, ce n'est plus vrai (ça l'est parfois, mais pas toujours).
Or ici, la racine carrée est toujours positive, et p est positif (donc p+1 aussi donc sa moitié aussi). Bref, on peut élever au carré et l'inégalité est vraie si et seulement si
Avec cela il n'y a plus de racine carrée. On a donc une "inéquation en p" et on cherche "pour quelles valeurs de p l'inégalité est vraie", on applique alors le traitement suivant :
(1) on développe le membre de droite
(2) on vire la fraction en multipliant l'inégalité par le réel adéquat
(3) comme dans toute inéquation, on
compare à zéro donc on se débrouille pour avoir "tout" d'un même côté, et "0" de l'autre côté du comparateur
(4) on factorise et on traite le produit des signes.
Comme ici on veut que ce soit vrai pour tout réel positif p, la factorisation devrait donner des facteurs toujours de même signe (ce qui est le cas en fait).
A toi de réaliser ces étapes ; elles sont importante pour acquérir la maîtrise des manipulations algébriques.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.