Démonstration inégalité

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
qsdfghjklmtoc
Messages: 6
Enregistré le: 02 Déc 2020, 02:16

Démonstration inégalité

par qsdfghjklmtoc » 02 Déc 2020, 02:27

Salut,
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment on démontre que quel que soit le réel p positif , on a toujours


merci d'avance pour vos réponses :)



jlb
Habitué(e)
Messages: 1886
Enregistré le: 27 Jan 2013, 19:35

Re: Démonstration inégalité

par jlb » 02 Déc 2020, 02:52

oui :)
Calcule (rac(p) -1)²

qsdfghjklmtoc
Messages: 6
Enregistré le: 02 Déc 2020, 02:16

Re: Démonstration inégalité

par qsdfghjklmtoc » 02 Déc 2020, 03:42


mais je ne sais pas quoi en faire :?:

Carpate
Habitué(e)
Messages: 3930
Enregistré le: 05 Jan 2012, 20:05

Re: Démonstration inégalité

par Carpate » 02 Déc 2020, 10:38

mais je ne sais pas quoi en faire

Pourtant tu as fini ta démo : quel est le signe de ?

qsdfghjklmtoc
Messages: 6
Enregistré le: 02 Déc 2020, 02:16

Re: Démonstration inégalité

par qsdfghjklmtoc » 06 Mar 2021, 17:46

C'est positif mais comment tu l'intègres dans l'inéquation ?
Je suis désolé mais je n'ai toujours pas compris le raisonnement, je précise que je suis en seconde.
Est-ce que qqn pourrait être plus explicite svp ?

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1962
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration inégalité

par hdci » 06 Mar 2021, 17:50

Puisque
qsdfghjklmtoc a écrit:C'est positif

on a donc


Et comme tu as développé, cela fait


Comment manipule-t-on une inégalité ? Tu veux comparer à quelque chose donc tu l'isoles d'un côté de l'inégalité
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1962
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration inégalité

par hdci » 06 Mar 2021, 18:02

Ceci dit, la méthode proposée peut sembler "tirée du chapeau", pourquoi avoir calculé (parce que jlb a l'habitude de voir ces identités remarquables à l'avance, très certainement, mais ce n'est pas forcément le cas d'un élève de seconde).

Voici une autre méthode, plus directe :

(1) les racines carrées sont toujours très embêtantes à manipuler. Il faudrait donc se débarrasser de la racine carrée, et pour cela, on a envie de tout élever au carré.
Mais attention, cela n'est possible simplement que si les deux membres sont positifs : en effet, si a et b sont deux nombres positifs, alors a<b est équivalent à a²<b². Mais si l'un des deux au moins est négatif, ce n'est plus vrai (ça l'est parfois, mais pas toujours).
Or ici, la racine carrée est toujours positive, et p est positif (donc p+1 aussi donc sa moitié aussi). Bref, on peut élever au carré et l'inégalité est vraie si et seulement si


Avec cela il n'y a plus de racine carrée. On a donc une "inéquation en p" et on cherche "pour quelles valeurs de p l'inégalité est vraie", on applique alors le traitement suivant :
(1) on développe le membre de droite
(2) on vire la fraction en multipliant l'inégalité par le réel adéquat
(3) comme dans toute inéquation, on compare à zéro donc on se débrouille pour avoir "tout" d'un même côté, et "0" de l'autre côté du comparateur
(4) on factorise et on traite le produit des signes.

Comme ici on veut que ce soit vrai pour tout réel positif p, la factorisation devrait donner des facteurs toujours de même signe (ce qui est le cas en fait).

A toi de réaliser ces étapes ; elles sont importante pour acquérir la maîtrise des manipulations algébriques.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

qsdfghjklmtoc
Messages: 6
Enregistré le: 02 Déc 2020, 02:16

Re: Démonstration inégalité

par qsdfghjklmtoc » 10 Mar 2021, 19:22

Merci pour ta réponse !

\sqrt{p}\le \frac{p+1}{2}
=p\le \left(\frac{p+1}{2}\right)^2
=p\le \frac{\left(p+1\right)^2}{4}
=4p\le p^2+2p+1
=0\le p^2-2p+1
=0\le \left(p-1\right)^2

ducoup maintenant je fais quoi ?

qsdfghjklmtoc
Messages: 6
Enregistré le: 02 Déc 2020, 02:16

Re: Démonstration inégalité

par qsdfghjklmtoc » 10 Mar 2021, 19:25



là normalement c'est mieux

Vassillia

Re: Démonstration inégalité

par Vassillia » 10 Mar 2021, 19:45

Bonjour,
L'idée est bonne mais l'écriture pose problème, normalement on part de ce que l'on sait à savoir
Et pour passer d'une inégalité à une autre, on met des équivalences.
En mettant des égalités partout, cela n'a plus de sens car est faux par exemple.
Mais sinon, pour finir sur un point positif, bravo pour ton utilisation de Latex !

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1962
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration inégalité

par hdci » 10 Mar 2021, 20:31

Effectivement, les signes "=" sont très mal à propos ici. Quand on écrit a=b=c, cela dit que a, b et c sont eactement les mêmes choses.

En remplaçant par des équivalences, on peut dire à la place des symbole la mention "si et seulement si" qu'on peut écrire en abrégé "ssi".
Et quand on écrit : "A ssi B" , on écrit en fait "A est vrai si et seulement si B est vrai".

Donc là avec ce déroulement vous avez


Peut-on dire que est vrai pour tout nombre positif p ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Habitué(e)
Messages: 13688
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

Re: Démonstration inégalité

par mathelot » 10 Mar 2021, 23:42

hdci a écrit:
Donc là avec ce déroulement vous avez
???
?

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1962
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration inégalité

par hdci » 11 Mar 2021, 00:06

Oui, j'ai mal écrit, c'était, correction :


Donc là avec ce déroulement vous avez


Peut-on dire que est vrai pour tout nombre positif p ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

qsdfghjklmtoc
Messages: 6
Enregistré le: 02 Déc 2020, 02:16

Re: Démonstration inégalité

par qsdfghjklmtoc » 11 Mar 2021, 00:16

Ahhhhhhhhhhh d'accord je crois que j'ai compris, je vais essayer de rédiger une réponse avec tout vos conseils :
Démontrer que quel que soit le réel p positif , on a toujours








Un carré étant toujours positif, on a vrai pour tout
Or
Donc quel que soit le réel p positif , on a toujours

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1962
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration inégalité

par hdci » 11 Mar 2021, 00:45

C'est cela.

Maintenant, on peut également (car on a fait cela "au brouillon") ré-écrire en partant de la fin : comme c'est une équivalence, on part de puis on "remonte" jusqu'à

en terme de rédaction, cela fait "mieux" en général (puisque cela ressemble plus à un mécanisme de déduction), mais dans l'absolu tant qu'on raisonne par équivalence c'est correct.

Il faut juste faire attention avec les équivalences : parfois il y a des pièges et l'équivalence n'est en fait qu'une implication...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 38 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite