Matrice diagonalisable et fonction nilpotente

[george154]

Bonjour,

Pourriez-vous m'expliquer comment dois-je répondre à ces 3 questions parce que depuis hier je suis bloqué dessus ?

1) Soit M ∈ Mn(R) une matrice diagonalisable. Montrer qu’il existe une matrice complexe N tel que N^2 = M. Ce résultat est-il encore vrai si on impose N réelle ?

Pour la suite f appartient à L(E) avec E un R espace vectoriel de dimension n et f est nilpotent d'ordre p>=2 et f^(p)=0

2) Soit u ∈ R^n tel que f^(p−1) de (u) soit différent de 0. Montrer que la famille (u, f(u), . . . , f(p−1) de (u)) est libre. En déduire que p ≤ n.

3) Démontrer que f nilpotent d’ordre n si et seulement si il existe une base C de R^n telle que la matrice f dans la base C, notée M, s’écrit

M= Matrice avec que des 0 sauf sur la diagonale à droite de la diagonale principale qui contient que des 1.

Merci pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour la 1, commence par regarder le cas d'une matrice diagonale ...

Poster la même question sur plusieurs forums sans aucune trace de recherche, ce n'est pas top !
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/894865-algebre-lineaire.html#post6695366

[george154]

Je sais mais sur l'autre forum, ils attendent à ce que j'ai des résultats mais je n'ai rien donc je suis revenu ici.

[george154]

Je peux te montrer mes feuilles de brouillon et tu verras que j'ai essayé pleins de trucs..

[george154]

Pour une matrice diagonale M, il existe bien une matrice complexe N tel que N^2=M. Les coefficients de la matrice N sont les coefficients de M à la racine carrée.

[GaBuZoMeu]

Poursuis : et si M diagonalisable ?

[george154]

Si M diagonalisable, on a alors M=PDP^(-1) et D=P^(-1) MP

[GaBuZoMeu]

Essaie de faire plus d'un pas à la fois. Fais preuve d'un peu d'initiative !

[george154]

Je ne vois pas comment continuer

[GaBuZoMeu]

Tu as montré qu'une matrice diagonale est le carré d'une matrice complexe.
Il ne devrait pas être trop difficile de montrer que c'est aussi le cas pour une matrice diagonalisable.
Quel est le carré de ?

[george154]

Ce sera égal à PA^2P^(-1) donc si on recherche la racine d'une matrice diagonalisable, c'est PA^(1/2)P^(-1)

[GaBuZoMeu]

Ah, on y arrive ! Soigne tout de même la rédaction.
Attention en particulier à l'utilisation de la notation . Pour une matrice, ça n'a pas grand sens.

[george154]

Je ne peux pas écrire A^(1/2) ?

[GaBuZoMeu]

Non, ce n'est pas bien défini.

[george154]

Merci pour ton aide, est ce que je pourrais juste avoir la correction pour la question 3 avant d'aller me coucher ? ( La question 2 on m'a aidé et je vais bientôt avoir fini ).

[george154]

Il ne me reste maintenant plus que la question 3. J'ai montré que la famille (u, f(u), . . . , f(p−1) de (u)) est libre, comment utiliser ce résultat pour répondre à la question 3 ?

[GaBuZoMeu]

La réponse à la question 2 te montre (avec juste un minimum de réflexion) que si f est nilpotent d'ordre n, alors il a une matrice de la forme indiquée dans une base adéquate.
La réciproque est facile.

[george154]

Voila ce que me dit la réponse à la question 2, si f nilpotent d'ordre n alors la famille (u, f(u), . . . , f^(n−1) (u)) est libre donc a0=a1=...=an-1. Je n'arrives pas à voir le rapport avec la matrice M.

[GaBuZoMeu]

M'enfin ???
Avec la réponse à la question 2, n'as-tu aucune idée de la base dans laquelle il sera intéressant d'écrire la matrice de f ?

[george154]

Dans la base (f^(p-1) (u),..., f(u),u)