Algebre Linéaire

[Arthuroua]

Bonsoir,

Il y a encore 3 petite questions auxquelles je n'ai pas de réponses en Algèbres Linéaire pour mes examens.

Soit deux matrice A et B appartenant à Mn(K).

1. Comment on montre que AB et BA ont les mêmes valeurs propres ?
2. Comment on montre que si A ou B est inversible alors AB et BA ont le même polynôme caractéristique ?
3 . Soit M=(BA -B ; 0 0) N=(0 -B ; 0 AB) et P=( In 0; A In) ( ce sont des matrices de taille 2x2 ). Comment montrer que BA et AB ont le même polynôme caractéristique sachant que j'ai déjà montrer que MP=PN et que P inversible

[GaBuZoMeu]

Bonoir,

1) Suppose que est vecteur propre de avec valeur propre associée . Tu pourras sans doute trouver un vecteur propre pour avec même valeur propre associée.
2) Des matrices semblables ont même polynôme caractéristique
...

[Arthuroua]

Pour la 1 je ne vois pas
Pour la 2, si A inversible alors on a AB = ABAA^-1 donc AB et BA sont semblables donc elles ont le même polynôme caractéristique ? ( On fait de même pour B inversible )
Pour la 3, je ne vois pas comment utiliser les matrices semblables dans ce cas là

[Arthuroua]

Pour la 1 j'ai toujours rien, la 2 je penses que ce que je vous ai dit est juste et pour la 3 j'aurais ça :
MP=PN donc M=PNP^(-1) donc M et N sont semblables alors elles ont le même polynôme caractéristique.
Cependant si on calcul déterminant de M-XId et N-XId on trouve respectivement (BA-X)(-X)+X^2 et (AB-X)(-X)+X^2 donc cela voudrait dire que AB et BA ont le même polynôme caractéristique ?

[GaBuZoMeu]

Voyons voyons :
Tu as avec et vecteur non nul (définition de vecteur propre). Tu ne peux vraiment pas trouver un vecteur non nul tel que ?
Après, tu pourras examiner ce qui se passe si 0 est valeur propre de .

[Arthuroua]

Je ne sais pas si c'est un bon début, mais je commencerais comme ça :
On a BAw = λw donc BAw - λw =0 donc (BA-λ)w = 0. On sait que w doit être non nul donc BA-λ = 0 donc BA=λ

[GaBuZoMeu]

Non, ça ne va pas du tout.
Tu crois vraiment que si Mw=0 et w est un vecteur non nul, alors la matrice M est nulle ???

Pars de ! Comment faire apparaître en partant de là ?

[Arthuroua]

ABv + BAw = λv +λw

[GaBuZoMeu]

Pas une bonne idée. Le but est de trouver un à partir de ce que tu as déjà : , et .
Tu as . Tu veux un fabriqué à partir de tel que .

[Arthuroua]

Je ne vois pas ce que je peux faire

[GaBuZoMeu]

Puisqu'il faut tout dire ...

[Arthuroua]

BABv = Bλv

[GaBuZoMeu]

Faut-il vraiment tout tout te dire ?
Je rappelle qu'on cherche un vecteur non nul tel que .

[Arthuroua]

C'est Bv ?

[GaBuZoMeu]

Je te laisse poursuivre.

[Arthuroua]

ABv = λv n'est pas nul donc Bv different de 0.
BA(Bv) = B(ABv) = B(λv) = λ(Bv) donc Bv est vecteur propre de BA associé a la valeur propre λ
AB et BA ont le même spectre.

[GaBuZoMeu]

Il faut traiter aussi le cas où 0 est valeur propre.

[Arthuroua]

0 valeur propre de AB ssi det(AB) = 0
0 valeur propre de AB ssi il est une valeur propre de BA

[GaBuZoMeu]

On ne voit pas très bien l'argument. Peux-tu le formuler plus clairement ?

[Arthuroua]

Le réel λ est valeur propre de M ∈ Mn(R) si et seulement si la matrice M − λIn est non inversible c'est à
dire ssi det(M − λIn) = 0 donc 0 est valeur propre de AB si et seulement si det(AB) = 0
det(AB) = det(A) det(B) = det(BA) donc , 0 est valeur propre de AB si et seulement si il est une valeur propre de
BA.