Equations aux dérivées partielles

[Théo3009]

Bonjour, à toutes et a tous. Je cherche à résoudre un exercice ou l'on me demande de chercher les solutions d'une EDP.
Je vous cite l'exo en question :



Pour la question 1) j'ai :


Pour la question 2) j'ai :


Et .. voilà je ne sais pas comment conclure.
J'ai remarqué que si je multipliais par y l'expressions de la dérivée partielle de g par rapport à y, j'obtenais mon EDP d'origine soit :

Alors cela voudrait dire que et donc que , avec des constantes d'intégrations.

Je ne sais pas trop si l'explication est claire et si c'est mathématiquement bon.
Voilà, j'espère avoir été claire, si vous pouviez me dire si cela est bon ou non. Et sinon me dire la ou est la coquille.
Je vous remercie d'avance. Et je vous souhaite une bonne journée.

[mathelot]

Alors cela voudrait dire que et donc que , avec des constantes d'intégrations.

je n'ai pas compris la déduction.

[Théo3009]

Comme on en déduis donc que mais cette constante peut potentiellement dépendre de x.
Après je ne suis pas sur. Mais je ne trouve pas d'autre façon de conclure le problème.

[mathelot]

rebonsoir,



il vient:


il existe donc une fonction F de dans telle que

(1)

Quelle est donc la forme des solutions (condition nécessaire) ? (on pourra revenir, dans (1), aux variable u et v)
que peut on dire de la réciproque (condition suffisante) ?

[Théo3009]

Bonsoir, si je comprend bien il faut que et donc que . Ceci serait la condition nécessaire mais je ne vois pas ce que peut être la condition suffisante.
Sinon était-il judicieux de remarquer que l'expressions de , et donc en conclure que .
Ou alors une autre méthode plus rigoureuse amène au même résultat ?
Je vous remercie pour vos réponses.

[mathelot]

on a
d'où


si f est solution de l'EDP, alors il existe F , fonction réelle de R dans R telle que



réciproquement , est solution de l'équation (à vérifier)
Les solutions de l'équation sont donc exactement les fonctions

[Théo3009]

ok d'accord merci et cela conclue donc l'exo. Oui j'ai vérifié et toute fonction et c'est bon.
Je voulais vous demandez si la démarche est bonne ?

[mathelot]

Pour la question 2) j'ai :

j'ai appliqué une méthode un peu différente en résolvant le système et en calculant et
puis en remplaçant les expressions trouvées dans l'équation.

[Théo3009]

Oui effectivement ca doit marcher à coup sur, et vous trouvez le même résultat donc ?

[mathelot]

Oui

[Théo3009]

Super j'en prend note, merci beaucoup pour votre aide.
Passez une excellente journée

[mathelot]

en résolvant le système, on trouve