Anneau de polynômes à plusieurs variables

[zwijndrecht]

Bonjour,

Soit un corps et soit .
Soit un ensemble non vide de monômes de (ordonnés selon un ordre monomial , par exemple, l'ordre lexicographique).
Je dois montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
a admet un nombre fini d'éléments minimaux pour la division (i.e. d'élements tels que si , alors, ).
Il existe un ensemble fini d'élements de tels que pour tout , il existe tel que .

J'ai réussi à montrer le sens , mais je ne parviens pas à montrer ...

Merci d'avance pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu écris les choses comme si S était une chaîne infinie descendante. Pour un ordre monomial qui est un bon ordre, c'est un peu bizarre, non ?
Peux-tu vérifier ton énoncé ?

[zwijndrecht]

Bonjour,
En fait, cette équivalence sert ensuite à montrer que toute suite décroissante est stationnaire (donc oui, est fini... mais on ne le sait pas encore à cette étape du raisonnement).

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends vraiment pas ce que tu fabriques.

Un ordre monomial est bien fondé par définition.

Pourrais-tu être plus clair ?

[zwijndrecht]

En fait, ma définition d'un ordre monomial est la suivante :
Soit l'ensemble des monômes de .
Un ordre monomial sur est une relation d'ordre total tel que :
(i)
(ii)

Le fait qu'une telle relation d'ordre soit noethérienne est déduite de l'équivalence que je cherche à montrer.