Spé maths polynômes du second degré

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Maxouu2004
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Spé maths polynômes du second degré

par Maxouu2004 » 21 Nov 2020, 18:58

Bonjour, je rencontre des difficultés avec une question que j'ai eu en interro et dont je dois faire la correction.

L'énoncé est le suivant: soit la fonction f(x)=-2x^3-x^2+5x-2 définie sur R. Démontrer que pour tout réel x, f(x)=-2(x-1/2)(x-1)(x+2).

Je n'ai pas le droit de développer le résultat final pour arriver à la donnée.

En interro, j'ai montré que cette fonction admettait comme racines 1/2, 1 et -2, malheureusement je n'ai pas eu le droit d'utiliser les propriétés d'identification car ce n'était pas une fonction poly du second deg et que les propriétés pour celles de degré 3 n'étaient pas vues en classe pour le moment.

Je pense que mon idée sur les racines était un bon début mais je ne sais pas comment poursuivre en sachant que je n'ai pas le droit d'utiliser ces propriétés.

Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance



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Sa Majesté
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Sa Majesté » 21 Nov 2020, 19:05

Bon c'est un peu compliqué de comprendre ce que tu as le droit ou pas de faire.
A partir du moment où tu as montré que 1/2, 1 et -2 sont racines et compte tenu du fait qu'un polynôme de degré 3 ne peut admettre que 3 racines réelles au plus, tu les as toutes et f(x)=a(x-1/2)(x-1)(x+2).
Reste à déterminer a.

Maxouu2004
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Maxouu2004 » 21 Nov 2020, 19:13

Désolé si mes explications n'étaient pas claires.

J'ai fait exactement ce que vous avez dit sur ma copie : j'ai montré que 1/2, 1 et -2 était des racines de f, puis j'ai écrit "Donc f se factorise par par 1/2, 1 et -2 ; on a donc f(x)=a(x-1/2)(x-1)(x+2) ; Par identification, ax^3=-2x^3, on a donc a=-2"

Cela m'a valu "Nous n'avons pas vu cette propriété en cours."

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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Sa Majesté » 21 Nov 2020, 19:39

Si je comprends bien, c'est juste l'identification de "a" qui a posé problème ?

Maxouu2004
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Maxouu2004 » 21 Nov 2020, 19:40

Je pense que oui

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Sa Majesté
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Sa Majesté » 21 Nov 2020, 19:42

Alors tu peux prendre une valeur quelconque, par exemple 0
f(0)=-2 et f(0)=a.(-1/2).(-1).(2) donc a=-2

Maxouu2004
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Maxouu2004 » 21 Nov 2020, 19:44

Oui d'accord je vais fonctionner ainsi, merci de votre aide !

Carpate
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Carpate » 21 Nov 2020, 19:54

Sans identification ...
f1) = 0
donc f est factorisable par x-1
Il faut donc faire apparaître x-1 dans l'expression de f
C'est un peu tordu mais on y arrive !





avec

on constate que
il ne reste plus qu'à faire apparaître le facteur
Sur ce, je m'arrête, épuisé !

Carpate
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Carpate » 21 Nov 2020, 20:03

Je n'étais pas loin du but :

Pisigma
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Pisigma » 21 Nov 2020, 20:55

Bonjour,

un façon un peu différente de celle de Carpate mais un peu tordue aussi!









à partir d'ici on pourrait écrire la dernière ligne directement en utilisant la somme et le produit des racines de la 1ère parenthèse




Pisigma
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Pisigma » 22 Nov 2020, 00:20

petite coquille modifiée en rouge

Pisigma a écrit:Bonjour,

une façon un peu différente de celle de Carpate mais un peu tordue aussi!









à partir d'ici on pourrait écrire la dernière ligne directement en utilisant la somme et le produit des racines de la 1ère parenthèse




Noemi
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Noemi » 22 Nov 2020, 13:39

Bonjour,

Une autre piste :
mettre -2 en facteur
f(x)= -2(x^3+x^2/2-5x/2+1) on remarque que 1 est racine de l'équation f(x)= 0.
f(x) = -2(x-1)(x^2+3x/2-1) reste à factoriser le polynôme du second degré en utilisant les identités remarquables (ou en utilisant le fait que x=-2 est racine).

Pisigma
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Re: Spé maths polynômes du second degré

par Pisigma » 22 Nov 2020, 13:46

Bonjour Noemi,

oui mais tu dois quand même faire appel à l'identification ; mais apparemment son prof n'en voulait pas

 

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