Changement de variables dans une intégrale multiple

[lisitsa]

Bonjour à tous,

En étudiant la preuve d'un théorème, je suis confrontée au changement de variables suivant, que je ne parviens pas à justifier :
, .

en écrivant , avec et , où est la sphère unité.

Afin de rédiger "en détails" ce changement de variables, j'ai donc posé , avec .
Mais je n'arrive pas à calculer le jacobien de ce difféomorphisme... Au vu de l'identité (et par identification avec la formule de changement de variables), on devrait trouver un jacobien égal à . Mais ma matrice jacobienne est de taille (en écrivant , je me retrouve avec variables , et à la fin, avec fonctions coordonnées ).

Comment calculer ce jacobien ?

Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Intuitivement, c'est clair.
est l'élément de volume dans .
est l'élément de "surface" sur la sphère unité de , donc sur la sphère de rayon l'élément de surface devient , et donc l'élément de volume est bien .
Tu tiens à quelque chose de plus formel ?

[lisitsa]

Merci votre réponse.
A vrai dire, j'ai toujours eu énormément de mal à raisonner "à la physicienne" avec des élément de volume et de surface... J'aurais donc aimé pouvoir poser le changement de variables "rigoureusement"...

[GaBuZoMeu]

Regarde l'application linéaire tangente à ton application au point .
On voit comme sous-espace vectoriel de et on note le vecteur unitaire normal "sortant" à ce sous-espace, On identifie à .
L'application linéaire tangente est :



La matrice jacobienne de cette application linéaire tangente (quand on prend bien sûr une b.o.n. de qui donne une b.o.n. directe de quand on met devant) est la matrice diagonale avec un 1 suivi de moins un sur la diagonale.

P.S. J'aurais dû indiquer qu'en fait est la même chose que , vu comme vecteur de plutôt que comme point de .