Plus petite période

[secureKANT]

Bonjour à tous,
Comment déterminer la plus petite période de la fonction f:x |-> cos (2*pi*x/21) ?
Je sais que cette période est 21.
Je sais prouver que 21 est une période de la fonction mais je ne sais pas prouver que c'est la période de la fonction (sa plus petite période positive).
Et surtout, je ne vois pas comment rédiger rigoureusement sa détermination.
J'avais commencer ma rédaction de la manière suivante :
Soit T>0
Soit x dans R
T est une période de f
<=> f(x) = f(x+T)
<=> cos(2*pi*x/21) = cos(2*pi*(x+T)/21)
<=> cos(2*pi*x/21) = cos(2*pi*x/21 + 2*pi*T/21)
et là j'ai envie de continuer comme ceci :
<=> 2*pi*x/21 CONGRU 2*pi*x/21 + 2*pi*T/21 [2*pi] $$
<=> 2*pi*T/21 CONGRU 0 [2*pi]
<=> T CONGRU 0 [21]
<=> T est un multiple de 21
D'où la plus petite période de f est 21.
Ce qui me gène est l'équivalence $$
En effet, quand on résout une équation avec cosinus on a :
cos(x) = cos(y) <=> x CONGRU y [2*pi] OU -x CONGRU y [2*pi]
et dans mon équivalence, je n'ai pas considéré le cas négatif.
D'ailleurs
2*pi*x/21 CONGRU -2*pi*x/21 - 2*pi*T/21 [2*pi]
<=> T CONGRU -2*x [21]
et là je suis complètement perdu.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci