Plus petite période

[secureKANT]

Bonjour à tous,
Comment déterminer la plus petite période de la fonction f:x |-> cos (2*pi*x/21) ?
Je sais que cette période est 21.
Je sais prouver que 21 est une période de la fonction mais je ne sais pas prouver que c'est la période de la fonction (sa plus petite période positive).
Et surtout, je ne vois pas comment rédiger rigoureusement sa détermination.
J'avais commencer ma rédaction de la manière suivante :
Soit T>0
Soit x dans R
T est une période de f
<=> f(x) = f(x+T)
<=> cos(2*pi*x/21) = cos(2*pi*(x+T)/21)
<=> cos(2*pi*x/21) = cos(2*pi*x/21 + 2*pi*T/21)
et là j'ai envie de continuer comme ceci :
<=> 2*pi*x/21 CONGRU 2*pi*x/21 + 2*pi*T/21 [2*pi] $$
<=> 2*pi*T/21 CONGRU 0 [2*pi]
<=> T CONGRU 0 [21]
<=> T est un multiple de 21
D'où la plus petite période de f est 21.
Ce qui me gène est l'équivalence $$
En effet, quand on résout une équation avec cosinus on a :
cos(x) = cos(y) <=> x CONGRU y [2*pi] OU -x CONGRU y [2*pi]
et dans mon équivalence, je n'ai pas considéré le cas négatif.
D'ailleurs
2*pi*x/21 CONGRU -2*pi*x/21 - 2*pi*T/21 [2*pi]
<=> T CONGRU -2*x [21]
et là je suis complètement perdu.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci

[pascal16]

dans l'absolue, il est très difficile de trouver la plus petite période d'une fonction quelconque.

x |-> cos (2*pi*x/21)
pour x=0, on a cos(0)=1, quelle est la plus petite valeur de x>0 qui vérifie cos (2*pi*x/21)=1 ?
On sait que la plus petite période doit être supérieur ou égale à cette valeur ...


Variante :
on a une fonction composée dont on connait la périodicité.
cos(Y) est 2 pi périodique
cos (2*pi*x/21) est 2pi/(2*pi/21) périodique

[secureKANT]

@pascal16
Merci pour la réponse qui permet de se rapprocher de l'intuition.
" pour x=0, on a cos(0)=1, quelle est la plus petite valeur de x>0 qui vérifie cos (2*pi*x/21)=1 ? "
Réponse : c'est la valeur de x qui vérifie 2*pi*x/21 = 2*pi c'est à dire x=21.
Réaction, en écrivant cela, je crois comprendre mais j'ai l'impression de manquer de théorie.

Après réflexion, j'ai pensé à un raisonnement par l'absurde pour montrer que 21 est la plus petite période.
Une fois montré que 21 est une période de f, on suppose qu'il existe une période T'>0 de f strictement inférieure à T.
Alors
Pour tout x de R (et je crois que cela est important ici), f(x) = f(x+T')
d'où pour tout x de R, cos(2*pi*x/21) = cos(2*pi*(x+T')/21)
d'où pour tout x de R, cos(2*pi*x/21) = cos(2*pi*x/21 + 2*pi*T'/21)
d'où pour tout x de R,
2*pi*x/21 CONGRU 2*pi*x/21 + 2*pi*T'/21 [2*pi]
OU 2*pi*x/21 CONGRU -2*pi*x/21 - 2*pi*T'/21 [2*pi]

d'où pour tout x de R,
2*pi*T'/21 CONGRU 0 [2*pi]
OU 2*pi*T'/21 CONGRU -4*pi*x/21 [2*pi]

d'où pour tout x de R,
T' CONGRU 0 [21]
OU T' CONGRU -2*x [21]

et donc (en particulier pour x = 0, le deuxième cas se ramènant au premier cas)
21 divise T'
Ce qui est absurde car 0<T'<21.

Mon raisonnement est-il correct ?

[pascal16]

T' CONGRU -2*x [21]
et donc (en particulier pour x = 0, le deuxième cas se ramènant au premier cas)

non, x peut prendre toutes les valeurs possible.
T' congrue à tout ce qu'on veut
solution = {Ø}

heureusement, tu as un "ou" entre tes deux équations, il ne te reste que l'équation en T à satisfaire.