Passage à la limite dans une intégrale généralisée

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
zwijndrecht
Membre Naturel
Messages: 74
Enregistré le: 29 Oct 2020, 14:13

Passage à la limite dans une intégrale généralisée

par zwijndrecht » 09 Nov 2020, 14:04

Bonjour,

Je cherche à montrer que (la convergence de l'intégrale étant établie pour ).

Je suis parvenu à montrer que , mais je n'arrive pas à montrer le passage à la limite...

J'ai bien pensé au théorème de convergence dominée, mais je ne parviens pas à majorer l'intégrande par une "bonne" fonction ne dépendant pas de ...

Pourriez-vous me mettre sur la voie ?

Merci d'avance.



pascal16
Membre Légendaire
Messages: 6663
Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: Passage à la limite dans une intégrale généralisée

par pascal16 » 10 Nov 2020, 13:38

A mon avis, tu as deux problèmes différents :
en 0 (valeur infinie)
en +oo
coupe ton intégrale en 2 parties [0:1] et [1;+oo[

zwijndrecht
Membre Naturel
Messages: 74
Enregistré le: 29 Oct 2020, 14:13

Re: Passage à la limite dans une intégrale généralisée

par zwijndrecht » 12 Nov 2020, 16:41

Merci pour ta réponse.

En fait, c'est surtout la partie sur qui m'embête...

Sur , on peut majorer l'intégrande par , qui est intégrable sur car .
Mais sur , il faudrait majorer par quelque chose du type , avec . Et là, je ne vois pas trop ce que je peux faire.
La convergence de l'intégrale en vient du fait que avec . Mais je ne vois pas comment majorer par quelque chose qui ne dépende pas de (nécessaire pour appliquer le théorème de convergence dominée).

pascal16
Membre Légendaire
Messages: 6663
Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: Passage à la limite dans une intégrale généralisée

par pascal16 » 12 Nov 2020, 18:55

sur [0;1] le changement de variable u=1/x ne te ramène pas à une intégration similaire ?

Rdvn
Membre Rationnel
Messages: 793
Enregistré le: 05 Sep 2018, 13:55

Re: Passage à la limite dans une intégrale généralisée

par Rdvn » 13 Nov 2020, 01:07

Bonsoir
Je note a pour alpha (n'ayant pas le symbole voulu)
puisqu'il s'agit d'établir une limite pour a tendant vers 1/2 , a>1/2
vous pouvez imposer
1/2 < a <3/4
ce qui vous sera plus favorable
Bon courage

zwijndrecht
Membre Naturel
Messages: 74
Enregistré le: 29 Oct 2020, 14:13

Re: Passage à la limite dans une intégrale généralisée

par zwijndrecht » 14 Nov 2020, 19:39

Effectivement, dans ce cas, convient.
Merci beaucoup !

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 26 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite