Retrouver les formule de Volume

[YAYVN]

Bonjour,
J'ai un problème auquel je pense.
J'aimerais retrouver le volume d'un cylindre et d'un cône.

Pour le cylindre cela est logique quand on prend la surface de la base fois la hauteur on retombe bien sur nos pieds :

Pi * R^2 * H

Cependant quand on se dit que l'on prend un rectangle qui fait une révolution autour d'un de ses côtés, et donc que l'on fait surface du rectangle fois périmètre du cercle tel que l=R et L=H

Soit l * L * 2 Pi * l = 2 * Pi * l^2 * L = 2* Pi*R^2*H

Il y a un 2 en trop !

De même pour le volume du cône, triangle qui fait une révolution autour d'un de ses côtés, surface du triangle fois le périmètre du cercle :

2 Pi *b* b * h * 1/2=Pi b^2 h

On retrouve pas la formule du cône qui est (avec b=R) : Pi R^2*h*1/3

Si qqun peut m'expliquer si j'ai loupé qqchose dans mon raisonnement cela serait d'une extrême amabilité.

[lyceen95]

Ca va être très compliqué à expliquer avec des notions de primaire ou de collège.

Dans ton 1er exemple, tu prends une forme en rond, et tu la déplaces le long de l'axe du cylindre. Tous les points de ta forme en rond se déplacent à la même vitesse, la distance parcourue (on peut dire balayée aussi) rest la même pour tous les points de ton disque.
Et du coup, ta formule marche bien.
Quand tu fais tourner un rectangle autour d'un de ses côtés, tous les points de ton rectangle n'avancent pas à la même vitesse ; le volume balayé par la 1ère moitié de ton rectangle est beaucoup plus petit que le volume balayé par la 2ème moitié de ton rectangle.
Et c'est pour ça que la formule 'intuitive' ne convient pas.

Pour les points qui sont les plus loin de l'axe de ton cylindre, ta formule marcherait 'quasiment' ; les points les plus loin de l'axe parcourent effectivement une distance égale à 2*pi* R. Mais pas les points proche de l'axe.

Par exemple, pour la forme dessinée ci-dessous, ta formule donnerait un résultat très proche du vrai volume.



Tu peux vérifier pour un cube, ta formule convient.

[YAYVN]

Merci bcp, en réfléchissant c plutôt logique que les points proche du centre du cercle parcourt moins de cube que les extrémités.
Donc sans cercle en 3d ça nous donne un prisme à base triangle rectangle de hauteur : L et de base : l*2Pi*l/2=R^2*Pi

Soit : Vprisme= L* l*2Pi*l/2=L*l^2*Pi= h*R^2*Pi

On retrouve bien la formule !

Pour le cône c un peu plus compliqué mais après réflexion ça nous donne un tetraèdre de même base et hauteur soit :
Vtetraèdre=1/3*b*h=1/3* h*R^2*Pi

On retrouve la formule

Merci infiniment !