Symétrie central d'un polynôme entre 0 et 1

[Texas]

Bonjour,
Dans le cadre de mon travail, j'aurai besoin de retourner un polynôme avec une symétrie centrale. (J'ai la définition de bleu, je souhaiterai orange (et oui, dans l'exemple la symétrie centrale n'est pas correct )


Je connait tout les monômes de mon polynôme bleu (et donc par extension, les valeurs en 0 et 1.
Je sais que le polynôme bleu est TOUJOURS monotone entre 0 et 1.
La solution doit être générique pour différente degré de polynôme
(la définition de bleu est : somme(rho_k . t^k) avec k qui va de 0 à i ; cependant i peut aller de 3 à 7.

Pour l'instant, je fais quelque chose de très salle pour avoir un simili de de polynôme symétrique en introduisant le pente en 0 sur la pente en 1 et vice versa et après en fabriquant quelque monôme de mon chapeau et "voila" (bref, bidouille et boule de gomme).

J'aimerai donc savoir si quelqu'un aurait une méthode "propre" pour obtenir un vrai polynôme orange bien symétrique par rapport à bleu.

Merci d'avance et bonne journée

Texas

[lyceen95]

Tu parles de polynômes, et c'est peut-être là le problème.
Prenons par exemple la courbe bleue d'équation y=x², pour x entre 0 et 1.
La courbe symétrique est la courbe d'équation y=racine(x) , et ce n'est pas un polynôme.

[Sa Majesté]

Si je comprends bien, tu connais la fonction f dont la représentation graphique est la courbe bleue, et tu souhaites déterminer une expression de la fonction dont la représentation graphique est déduite de la courbe bleue par la symétrie centrale, de centre S de coordonnées (a,b).

Un point M sur la courbe bleue de coordonnées (x, f(x)) est transformé en un point M'(x',y') déterminé par :
x' = 2a - x
y' = 2b - f(x)

Il reste ensuite, si c'est possible, à déterminer y' en fonction de x'.

[Texas]

Bonjour,
Comme il s'agit de travail, j'ai put demander de l'aide et plusieurs cerveaux aidant, on a trouvé la solution pour ceux que ça intéresse. (Oui, je répond à ma propre question, mais je trouve ça frustrant quant la personne répond juste "c'est bon, j'ai trouvé").

Comme ce qui nous intéresse est défini entre 0 et 1
En fait on peut écrire que val_max-P2(t)=val_min+P1(1-t) et c'est notre pb à résoudre
on a donc P2(t)=val_min-val_max+p1(1-t).

Là on développe : val_max = le premier coef de P1 (car t=0 donc tout les a_1*t^x sautent)
val_min=somme des coeffs du polynome (car si t=1 alors t^x=1)

on va ecrire p1=a+b*t+c*t^2+d*t^3+e*t^4+f*t^5
on va ecrire p2=u+v*t+w*t^2+x*t^3+y*t^4+z*t^5 (avec les lettre u à z les inconnues que l'on cherche à determiner)

donc si le deg est de 5 :

P2(t) =a + a+b+c+d +e+f -a+b*(1-t)+c*(1-t)^2+d*(1-t)^3+e*(1-t)^4+f*(1-t)^5
ainsi, en développant et en regroupant les termes avec le meme degrés de t

Code: Tout sélectionner

u    =    a   0   0   0    0    0
v    =    0  +b +2c +3d  +4e   +5f
w    =    0   0  -c -3d  -6e  -10f
x    =    0   0   0  +d  +4e  +10f
y    =    0   0   0   0  -1e   -5f
z    =    0   0   0   0    0    1f

A partir de là, on reconnait facilement les coefficient de pascal et l'alternance de + et de - sur le ligne.
Je me suis "amusé" à coder cette fonction et a faire des tests sur des polynomes plus grands et complexe et ça marche nickel sur le domaine [0;1] et donc nickel sur n'importe quel domaine avec un petit changement de variable.
Merci de votre aide et bonne journée

[Texas]

Tu parles de polynômes, et c'est peut-être là le problème.
Prenons par exemple la courbe bleue d'équation y=x², pour x entre 0 et 1.
La courbe symétrique est la courbe d'équation y=racine(x) , et ce n'est pas un polynôme.

non, car la fonction racine est la symetrie AXIALE de la fonction y=x^2 par rapport à l'axe (avec l'axe x=y comme axe de symetrie.
Dans ce cas, la symetrie central de y=x^2 est y=2*x-x^2

[fatal_error]

hi,

j'ai pas trop compris ce qu'on appèle symétrie centrale mais il semble que on peut appliquer

- un retournement R sur l'axe des temps
- suivi d'une symétrie horizontale S_h (d'axe y = f(B=1))
- suivi d'une translation T (de vecteur [0, f(A=0)-f(B)])

on a alors g la fonction correspondant à la courbe orange, donnée par

g = T(S_h(R))
g(t) = T(S_h(f(1-t))) = T(2f(B)-f(1-t)) = 2f(B)-f(1-t) + f(A)-f(B) = f(B) + f(A) - f(1-t)

exemple avec
f(x) = x^4-10x^3 + x^2+2
f(0) = 2
f(1) = -6
g(x) = 2 -6 - ((1-x)^4 -10(1-x)^3+ (1-x)^2+2)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=p ... C+x%3D0..1

[Texas]

Exactement, ça marche aussi et ça a l'air plus simple à expliquer.
dans ton exemple, ton g(x) ressemble beaucoup à mon :
P2(t) =a + (a+b+c+d e+f )-(a+b*(1-t)+c*(1-t)^2+d*(1-t)^3+e*(1-t)^4+f*(1-t)^5)
car "a" est mon f(0) et (a+b+c+d e+f ) est mon f(1)