équation complexe avec z^n

[venusisconfused]

Bonjour, j'ai bientôt un examen en algèbre donc je suis en pleine révision et je suis tombée sur deux exercices que je ne comprends pas :

1/ résoudre l'équation suivante : z^n = (3 + i*racine de 3)/(1 + i)
2/ Résoudre dans C* pour n appartenant à N* : [(z + i) / (z - i)]^4 = 1

Merci pour votre aide.

[Pisigma]

Bonjour,

1) es-tu sûr du 2d membre car ça donne un argument "inhabituel"

au fait, l'as-tu calculé?

[venusisconfused]

Bonjour,

1) es-tu sûr du 2d membre car ça donne un argument "inhabituel"

au fait, l'as-tu calculé?

J'ai essayé mais j'en ai déduit que j'avais fait une erreur dans mes calculs ou dans ma méthode car le module était racine de 7 et je ne suis pas sûre de savoir comment calculer l'argument

[lyceen95]

Pour le 2ème exercice, tu as mal recopié.
Tu parles de appartenant à N*, et n'apparait plus dans la suite de l'énoncé.

Je vais proposer une piste pour ce que tu as écrit : [(z + i) / (z - i)]^4 = 1

Tu résouds dans un premier temps l'équation Z^4=1 ... il y a 4 racines que tu dois connaître par coeur.
Puis tu te retrouves à devoir résoudre 4 équations relativement simples.

Puis si le vrai énoncé est [(z + i) / (z - i)]^n = 1 ... c'est quasiment la même méthode, avec un peu plus de 'hauteur de vue'.

[Pisigma]

Salut lyceen95,

OK, je "m'occupe" du 1) et toi du 2)

[venusisconfused]

Pour le 2ème exercice, tu as mal recopié.
Tu parles de appartenant à N*, et n'apparait plus dans la suite de l'énoncé.

Je vais proposer une piste pour ce que tu as écrit : [(z + i) / (z - i)]^4 = 1

Tu résouds dans un premier temps l'équation Z^4=1 ... il y a 4 racines que tu dois connaître par coeur.
Puis tu te retrouves à devoir résoudre 4 équations relativement simples.

Puis si le vrai énoncé est [(z + i) / (z - i)]^n = 1 ... c'est quasiment la même méthode, avec un peu plus de 'hauteur de vue'.

Effectivement, le n n'apparaît plus dans la suite mais c'est bien comme ça qu'est rédigé l'énoncé, peut-être une erreur ?
Mais merci beaucoup pour ton aide, j'essayerais de faire l'exercice avec tes indications

[Pisigma]

pour le 1 il y a sûrement une erreur dans le second membre revérifie le

[venusisconfused]

pour le 1 il y a sûrement une erreur dans le second membre revérifie le

Pourtant c'est bien l'énoncé

[Pisigma]

j'en doute, mais quel calcul as-tu effectué pour le trouver? et combien as-tu trouvé?

qu'as-tu trouvé comme 2d membre?

[venusisconfused]

j'en doute, mais quel calcul as-tu effectué pour le trouver? et combien as-tu trouvé?

Je n'ai pas réussi à faire l'exercice justement, j'essaie de joindre une photo de l'énoncé mais le site ne me laisse pas.. Il s'avère que je me suis effectivement trompée ce n'est pas racine de 5 mais plutôt racine de 3

[ijkl]

Bonjour

on remarquera que

avec le nombre d'or

les calculs avec le nombre d'or sont plus sympas à faire qu'avec l'horrible fraction donnée comme ça non?

[Pisigma]

j'en doute, mais quel calcul as-tu effectué pour le trouver? et combien as-tu trouvé?

Je n'ai pas réussi à faire l'exercice justement, j'essaie de joindre une photo de l'énoncé mais le site ne me laisse pas.. Il s'avère que je me suis effectivement trompée ce n'est pas racine de 5 mais plutôt racine de 3

donc maintenant c'est plus simple, vas-y

[ijkl]

au fait

Bonjour

on remarquera que

avec le nombre d'or

les calculs avec le nombre d'or sont plus sympas à faire qu'avec l'horrible fraction donnée comme ça non?

[venusisconfused]

j'en doute, mais quel calcul as-tu effectué pour le trouver? et combien as-tu trouvé?

Je n'ai pas réussi à faire l'exercice justement, j'essaie de joindre une photo de l'énoncé mais le site ne me laisse pas.. Il s'avère que je me suis effectivement trompée ce n'est pas racine de 5 mais plutôt racine de 3

donc maintenant c'est plus simple, vas-y

je n'y arrive toujours pas

[Black Jack]

Bonjour,

z^n = (3 + i*racine de 5)/(1 + i)

(3 + i*racine de 5)/(1 + i) = V14 * (3/V14 + i*(V(5/14)) / (V2 * (1/V2 + i*1/V2))

|z^n| = V(7)

arg(z^n) = arctan((V5)/3) - Pi/4

z^n = V(7) * e^(i * (arctan((V5)/3) - Pi/4 + 2k.Pi))

z = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n + 2k.Pi/n) ... avec k entier de 0 à n-1

z0 = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n)
z1 = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n + 2.Pi/n)
...
z(n-1) = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n + 2(n-1).Pi/n)



Edit:

Pas vu le massage avec le nombre d'or avant d'envoyer ...
Mais la résolution que j'ai donnée doit être correcte.

[Pisigma]

commence par rationnaliser ton second membre et cherche le module et un argument du 2d membre

[venusisconfused]

Bonjour

on remarquera que

avec le nombre d'or

les calculs avec le nombre d'or sont plus sympas à faire qu'avec l'horrible fraction donnée comme ça non?

je ne gère pas du tout le nombre d'or

[Pisigma]

Salut Black Jack,

comme je vois que tu t'es intercalé dans l'échange bye!

ça semble être l'usage dans Maths-Forum

[venusisconfused]

Bonjour,

z^n = (3 + i*racine de 5)/(1 + i)

(3 + i*racine de 5)/(1 + i) = V14 * (3/V14 + i*(V(5/14)) / (V2 * (1/V2 + i*1/V2))

|z^n| = V(7)

arg(z^n) = arctan((V5)/3) - Pi/4

z^n = V(7) * e^(i * (arctan((V5)/3) - Pi/4 + 2k.Pi))

z = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n + 2k.Pi/n) ... avec k entier de 0 à n-1

z0 = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n)
z1 = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n + 2.Pi/n)
...
z(n-1) = 7^(1/(2n)) * e^(i * ((arctan((V5)/3) - Pi/4)/n + 2(n-1).Pi/n)

bonjour,
j'avais fais une erreur dans l'énoncé, c'était racine de 3 et non 5 mais merci beaucoup

[venusisconfused]

commence par rationnaliser ton second membre et cherche le module et un argument du 2d membre

j'ai mis le 2nd membre sous forme a + ib et comme module j'ai trouvé racine de 6 mais je n'arrive pas à trouver l'argument...