Intégrale de Riemann et accroissement fini

[Leopards1]

Bonjour, j'ai un problème pour un exercice sur les intégrales de Riemann.
J'ai épluché tout mes cours, sans trouver de réponses et beaucoup cherché par moi-même mais rien de bien concluant n'en découle.
Voilà l'énoncé de l'exercice + celui de la question:

Enoncé: "Soit f une application de [a, b] dans R, de classe C1
Pour tout entier n ≥ 1, on considère la subdivision régulière ak = a + (b − a)k/n, pour k de 0 à n, et les applications g et h de [a, b] dans R, en escalier, définies par g(x) = f(ak) pour x ∈ [ak, ak+1[ (k de 0 à n−1) et g(b) = f(b) d’une part, et h(a) = f(a) et h(x) = f(ak) pour x ∈ ]ak−1, ak] (k de 1 à n)."

Question: ". Montrer que(Intégrale de a à b de:f(x)) − g(x) dx≤ M(b − a)2/n, et de même avec h à la place de g"

(seul f(x) est sous l'intégrale).
Et tout cela en fonction du résultat précèdent: "max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a, b]."

Je suis complétement perdu, besoin d'aide !

[pascal16]

max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n

n'oublie pas que tu travailles sur des intervalle de largeur (b − a)/n dans ta somme
donc tu va tomber sur du (M(b − a)/n)*((b − a)/n) comme majorant sur chaque intervalle de largeur (b − a)/n qui fera apparaitre M((b − a)²/n²
et comme tu auras n fois la même quantité, tu auras du M((b − a)²/n au final

[Leopards1]

Merci beaucoup ! Mais ça reste un peu flou pour moi, à vrai dire je ne comprends pas du tout d'où vient l'expression: "max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a, b]."
Elle est issue d'un accroissement fini mais je ne comprends pas bien comment cela est possible ?

[pascal16]

si sur ]a;b[, |f'(x)| ≤ M, le résultat est direct.

[Leopards1]

en appliquant l'inégalité de l'accroissement fini j'obtiens cela: "|f(x) − g(x)| ≤ M(b − a)" avec "|f(x) − g(x)|=|f(x) − f(ak)|", c'est bien cela ?

Mais je ne retrouve pas l'expression : "max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n"
donc je ne comprends pas ?
Et merci pour vos réponses très rapides !

[pascal16]

Et tout cela en fonction du résultat précèdent: "max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a, b]."

le TAF ne sert qu'au résultat précédent.

[Leopards1]

Oui je vous parle ici du résultat précédent : "max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a, b]"

C'était une question auquel il fallait répondre en utilisant l'accroissement fini: "On pose M = supx∈[a,b]|f'(x)|. Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que
max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a, b]."

Je pensais avoir répondu à cette question mais mon raisonnement n'a ni queue ni tête. Comme je vous l'ai dis je trouve cela : "|f(x) − g(x)| ≤ M(b − a)" avec "|f(x) − g(x)|=|f(x) − f(ak)|" et cela ne correspond pas.

Je pense que c'est là que j'ai fait mon erreur, si vous pouviez m'aider à répondre à cette question ?

[pascal16]

tu as du avoir :
max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a+k(b-a)/n, a+(k+1)(b-a)/n]

donc pour x dans [a;b]
max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ max( M(b − a)/n, k = 0 à n-1)= M(b − a)/n
le max ne se multiplie pas quand il est fixe.
Il faut qu'il soit indépendant de k pour que l'égalité soit valable.

[Leopards1]

Merci beaucoup ! J'ai eu ceci: "Soit f une application de [a, b] dans R, de classe C1
Pour tout entier n ≥ 1, on considère la subdivision régulière ak = a + (b − a)k/n, pour k de 0 à n, et les applications g et h de [a, b] dans R, en escalier, définies par g(x) = f(ak) pour x ∈ [ak, ak+1[ (k de 0 à n−1) et g(b) = f(b) d’une part, et h(a) = f(a) et h(x) = f(ak) pour x ∈ ]ak−1, ak] (k de 1 à n)."

Et c'est tout.

Suivi de la question: "On pose M = supx∈[a,b]|f'(x)|. Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a, b]."

Je comprends un peu mieux, mais cela reste flou, et ce que ce raisonnement: "|f(x) − g(x)| ≤ M(b − a)" avec "|f(x) − g(x)|=|f(x) − f(ak)|" est bon ?

Si oui je ne comprends pas vraiment comment l'on passe de cette expression à celle-ci: "max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n " Pourquoi prenons-nous le max ? Comment retrouver le "/n" qu'il me manque ?

[Leopards1]

Je n'ai toujours pas trouvé comment faire...

[pascal16]

le but de l'exo n'est pas de redémonter lAF à l'aide du TAf.
l'exo aurait du dire " Inégalité des accroissements finis" au lieu du TAF.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... ents_finis

pars du résultat.

tu l'appliques sur un intervalle [a+k(b-a)/n ; a+(k+1)(b-a)/n] avec f et g puis f et h
tu as |f(x) − g(x)| ≤ M(b − a)/n et |f(x) − h(x)| ≤ M(b − a)/n
donc max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n

à n fixé, M(b − a)/n est un constante
pour tout k, sur [a+k(b-a)/n ; a+(k+1)(b-a)/n] max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n
sur les n subdivisions, le majorant est le même
finalement sur [a;b] entier, max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n