Inégalité de complexes

[Rifilou]

Bonjour à tous,

je n'ai pas eu le temps de toucher à cet exercice à ma dernière colle de maths, mais je n'ai aucune idée de comment faire ? Si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste, je vous en serai très reconnaissant

Soit z1 et z2 des complexes.
On pose M = max(|z1|;|z2|)
Montrer que pour tout entier naturel n, |z1^n-z2^n|<=n*M^(n-1)*|z1-z2|

[mathelot]

bonjour,
c'est l'inégalité du TAF:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... ents_finis

[Rifilou]

Certes, et merci, mais la résolution de Wikipédia est totalement hors programme. Je pense qu'il y a un moyen plus approprié.
J'ai commencé une récurrence mais mon hérédité n'aboutit pas à ce que je veux, M^n*(1 + n/M) devrait être supérieur ou égal à (n+1)*M^n. Voyez-vous un moyen d'avancer?

Voici ce que j'ai fait:

https://www.dropbox.com/s/0w6aomx7x0vps ... 4.jpg?dl=0

[Sa Majesté]

As-tu essayé

[Rifilou]

Oui, je l’ai fait au début de mon hérédité comme vous pouvez le voir sur l’image sur Dropbox. Mais je bloque plus loin

[Sa Majesté]

OK je n'avais pas vu ton image
Je ne comprends pas pourquoi tu sépares

[Rifilou]

Je ne l’ai pas séparé. J’ai arbitrairement choisi que ça allait être la valeur de M. J’ai donc (dans la parenthèse, il faut rajouter le module de z1-z2) (n*M^n-1 + M^n) = (M^n*(n/M + 1). Je me rapproche le plus possible de l’expression que je dois trouver à savoir module(z1-z2)*(n+1)*M^n. Mais je suis bloqué ici

[Sa Majesté]

Pourquoi est-ce que tu ne majores pas et par M dans les expressions de et ?

[Rifilou]

Finalement j'ai réussi assez simplement:
|z1^n-z2^n|=|(z1-z2)*Somme de 0 à n-1 de (|z1^k *z2^n-k|).
<=|z1-z2|*Somme de 0 à n-1 de (|z1|^k *|z2|^n-k).
<=|z1-z2|*n*|M|^n-1
<=|z1-z2|*n*M^n-1

[Sa Majesté]

Eh oui
Bravo !