Exercice option maths expertes congruences

[Clara17]

Bonjour,

Voilà l'énoncé de mon exercice :
1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11
2. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^10 par 11
3. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^2009 +2009 par 11

Pour la question 1. j'ai trouvée que 2009=182x11+7 le reste est donc 7
Pour la question 2. j'ai trouvée que 2^10 = 93x11+1 le reste est donc 1
Et je bloque un peu sur la question 3. car je ne voie pas vraiment comment trouver le résultat, je me doute qu'il faut utiliser les question précédentes mais je n'arrive pas à savoir de quelle façon. J'ai eu l'idée de remplacer l'exposant par le calcul trouvé à la question 1. mais ça ne m'avance à rien. Ou alors je ne m'y prend pas comme il faut.
Quelqu'un pourrait m'aider ?

[hdci]

Bonjour,
Si et , alors ?

On peut alors généraliser avec les exposants, ici avec une astuce puisqu'on a un modulo intéressant pour

[Clara17]

Ok donc 2^2009 ≡ 1 [11]
Au fait j'avais oublier une partie de la question la vraie question est : Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^2009 +2009 par 11
J'ai donc 2009 ≡ 7 [11] et 2^2009 ≡ 1 [11] donc je peux dire que 2^2009 + 2009 ≡ 8 [11] ?
Et le reste serait donc 8 ?

[hdci]

Ok donc 2^2009 ≡ 1 [11]

Etes-vous sûre ? Car c'est . Donc , ...

[Clara17]

Je ne suis pas sure de comprendre, dans mon cour il y a marqué : Si a≡b[m] alors a^p≡b^p[m]
1^2009 vaut 1 donc où est le problème ?
Ou alors il faut que mon exposant soit un multiple de dix donc ce serait 2^2009 x 2 ≡ 1 [11]
je suis un peu perdue là...

[hdci]

a≡b[m] alors a^p≡b^p[m]

C'est exact. Mais 2 est congru à 2 modulo 11, pas à 1. C'est qui est congru à 1.

ce serait 2^2009 x 2 ≡ 1 [11]

Oui c'est cela. Il s'agit alors de trouver entre 0 et 10 tel que ...

Si vous ne voyez pas, essayez chacun des 11 entiers (sachant que certains sont évidents) : comme 11 est premier il n'y a qu'un seul possible.

[Clara17]

Ok je crois avoir compris
Donc (2^2009 x 2 ) + 2009 ≡ 8 [11] ?

[hdci]

Je viens de me rendre compte que j'avais mal érit mes formules Tex (l'exposant de 2 étaient censés être 10, puis 20, puis 30 dans mes posts précédents et cela apparaissait mal).

Reprenons pour : en l'écrivant ainsi, c'est peut^être plus simple que de l'écrire avec une division par deux, on obtient le fait que c'est congru à 512 modulo 11, donc à 6.

(On aurait pu voir que puis que ce qui donne le même résultat pour ).

Comme , on a donc (pas 8 en tout cas)

[Clara17]

J'ai vraiment du mal je suis désolée...
Mais si j'ai compris ce que vous avez fait puisque (2^10)^200 x 2^9 ≡ 6
2^2009 + 2009 ≡ 13 [11]
Or 0<r<10
13 = 11 x 1 + 2 Donc 2^2009 + 2009 ≡ 2 [11] et le reste serait 2
j'espère que je ne me suis pas encore trompée

[hdci]

Cette fois-ci c'est correct!

[Clara17]

Super merci beaucoup pour votre aide.