[TS] Spécialité, Arithmétique

par **Ivanovich** » 03 Déc 2006, 21:44

Bonsoir à tous, cela fait quelque temps que je n'ai pas posté pour demander de l'aide parce que ca se passait bien lol ... mais la je bloque completement sur un exercice de Spé et ca dès la premiere question qui semble pas compliquée ...

On considère l'équation (1) : 20b - 9c = 2 ou les inconnues b et c appartiennent à l'ensemble Z des nombres entiers relatifs.

1)a) montrer que si le couple (bo ; co) d'entiers relatifs est une solution de l'equation 1, alors co est un multiple de 2.

C'est juste la premiere et je n'y arrive pas du tout, ca serait sympa de me debloquer pour que j'essaie la suite, je la posterai au cas ou.

Merci bien d'avance.

par **Civodul** » 03 Déc 2006, 21:58

si tu resouds l'equation tu as:
20b-9c=2 or une solution evidente est
20*1-9*2=2 donc tu as
20(b-1)-9(c-2)=0 (soustraction des deux)

20(b-1)=9(c-2) . 20 et 9 sont premiers entre eux et 20 divise 9(c-2). donc d'après le theoreme de gauss 20 divise c-2.
d'ou c-2 =20k (k appartient Z)
c=20k+2
c=2(10k+1)
c=2K donc c multiple de 2 . donc si le couple (bo;co) est solution alors co est multiple de 2.

j'espere que c'est clair :we:

par **Ivanovich** » 03 Déc 2006, 22:04

on ne peut plus clair, merci l'ami ... je pensais que je ne pouvais pas donner de solutions evidente pour tenter de resoudre ... parce que les questions suivantes sont :

1) b) on désigne par d le PGCD de |bo| et |co|. Quelles sont les valeurs possibles de d ?

2) Determiner une solution particulière de l'equation (1) puis determiner l'ensemble des solutions de cette équation.

( tu vois c'est maintenant qu'ils demandent des solutions particulières c pour ca que ca m'intrigue)

Enfin une aide pour la 1)b) et je devrais pouvoir continuer jusqu a la 4).

Merci encore.

par **Civodul** » 03 Déc 2006, 22:12

bizarre en effet.
on peut peut etre dire
si (bo;co) couple solution alors 20bo-9co=2
donc 9co=20bo-2
9co=2(10bo-1) . 2 divise 9co et 9 et 2 sont premiers entre eux donc 2 divise co d'ou co mulitple de 2.
ca doit etre ca qu'ils attendent :we:

pour le PGCD tu peux utiliser le fait que d divise toutes combinaisons lineaires de |bo| et |co|. je pense qu'il faut chercher dans cette direction

par **Ivanovich** » 03 Déc 2006, 22:18

hum effectivement ce que tu viens de me proposer m'a l'air pas mal, merci.
Sinon pour la 1)b) le PGCD doit donc etre un diviseur de 2, ca peut etre que 1 ou 2 c'est ca ?

par **Civodul** » 03 Déc 2006, 22:23

on peut dire que le PGCD de bo et co est diviseur de 2 dans Z soit {-1;-2;1;2}
(par combinaison lineaire)
donc logiquement le PGCD de |bo| et |co| devrait etre diviseur de 2 dans N soit {1;2} mais je sais pas si on peut le dire comme ca.

par **Ivanovich** » 03 Déc 2006, 22:33

hum ok ok j'aariverai a rédiger ca proprement je pense ^^
Bon continuous si vous le voulez bien ... :

2) Determiner une solution particuliere de l'equation 1 puis determiner l'ensemble des solutions de cette équation.

Bon bah ca tu l'as deja fait quasiment au dessus , on se retrouve avec :

b = 9k + 1 et c = 20 k + 2 ( k appartenant à Z)

3) Determiner l'ensemble des solutions (b ; c) de 1 telles que PGCD( b ; c) = 2

Alors la je pensais le faire tranquille mais en fait non.
Je peut dire que b = 2 b ' et c = 2 c' ( b' et c' etant deux relatifs premiers entre eux).
En remplacant ca ne me donne rien en fait, je pense qu'il y a quelque chose a faire avec les solutions precedentes mais bon ... HELP

par **Civodul** » 03 Déc 2006, 23:01

si b=9k+1 et b=2b' alors 2b'=9k+1
donc 2b'-9k=1 . resoudre cette equation devrait te donner les solutions mais je crois pas que cette methode marche tout le temps (ici oui car les diviseurs possibles ne sont que 1 et 2 alors que s'il y avait eu plusieurs possibilité comme 3 et 6 (par ex) : en trouvant les nombres tels que PGCD=3 on peut aussi resoudre PGCD=6. il faut faire des cas a part)

enfin essaie cette methode normalement pour cet exo cette methode devrait marcher :we:

par **Ivanovich** » 03 Déc 2006, 23:24

je n'aboutit a rien en utilisant ce que tu m'as suggeré, mais il demande un ensemble non ? c'est a dire qu'ils veulent une solution du style de l'equation ou un truc comme ca ... je n'arrive à rien la ... si quelqu 'un a une idée.

Merci.

par **Civodul** » 03 Déc 2006, 23:36

pourtant si tu resouds l'equation avec une solution evidente tu obtiens b' qu'il te suffit de multiplier par 2. ensuite tu remplaces dans l'equation de depart et tu obtiens c.

par **Ivanovich** » 03 Déc 2006, 23:48

oui effectivement j'arrive a obtenir b = -8 et donc c = - 18 ... cependant ce ne sont pas les seules solutions non ?

par **Ivanovich** » 04 Déc 2006, 00:37

un petit up pour la forme, je vais pas tarder a y aller mais si quelqu'un repond dans la journée de demain ca serait deja tres bien.

Merci

par **Quidam** » 04 Déc 2006, 01:26

Ivanovich a écrit:On considère l'équation (1) : 20b - 9c = 2 ou les inconnues b et c appartiennent à l'ensemble Z des nombres entiers relatifs.

1)a) montrer que si le couple (bo ; co) d'entiers relatifs est une solution de l'equation 1, alors co est un multiple de 2.

Il est inutile de chercher des solutions évidentes !
De 20b - 9c = 2, on tire immédiatement 9c=20b-2=2*(10b-1)
Du fait que 2 divise 9c et ne divise pas 9 (enfin, je crois, la dernière fois que j'ai fait cette division, ça ne tombait pas juste, il me semble !), il divise donc c.

Nul besoin de trouver une solution particulière de cette équation pour affirmer que pour tout couple b,c solution de cette équation, c est nécessairement pair !

par **Ivanovich** » 04 Déc 2006, 08:25

oui oui merci il m a effectivement suggerer ca apres, vous n'auriez pas un peu d'aide a apporter pour la 3 ?

par **Quidam** » 04 Déc 2006, 13:33

Cidovul t'as quasiment donné la réponse au 3) !!!

Civodul a écrit:si tu resouds l'equation tu as:
20b-9c=2 or une solution evidente est
20*1-9*2=2 donc tu as
20(b-1)-9(c-2)=0 (soustraction des deux)

20(b-1)=9(c-2) . 20 et 9 sont premiers entre eux et 20 divise 9(c-2). donc d'après le theoreme de gauss 20 divise c-2.
d'ou c-2 =20k (k appartient Z)
c=20k+2

Il suffit de terminer ce qu'il a écrit :
c=20k+2 donc :
20b-9(20k+2)=2
20b-20*9k=20
b-9k=1
b=1+9k

Toutes les solutions sont donc : b=9k+1 c=20k+2
(la solution -8,-18 que tu as déjà trouvé correspond à k=-1)

par **Civodul** » 04 Déc 2006, 18:17

Civodul a écrit:si b=9k+1 et b=2b' alors 2b'=9k+1
donc 2b'-9k=1 . resoudre cette equation devrait te donner les solutions mais je crois pas que cette methode marche tout le temps (ici oui car les diviseurs possibles ne sont que 1 et 2 alors que s'il y avait eu plusieurs possibilité comme 3 et 6 (par ex) : en trouvant les nombres tels que PGCD=3 on peut aussi resoudre PGCD=6. il faut faire des cas a part)

enfin essaie cette methode normalement pour cet exo cette methode devrait marcher :we:

2b'-9k=1
2*5-9*1=1 donc
2(b'-5)-9(k-1)=0
si tu resouds ca tu vas avoir b'-5=9p p apartient a Z
b'=9p+5
or b=2b'
donc b=18p+10
or 20b-9c=2
360p+200-2=9c
c=40p+22
donc les solutions de la forme {18p+10;40p+22} ont pour PGCD 2.
je pense que ca doit marcher mis si certains peuvent confirmer :++:

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