Majorant/minorant maximum/minimum

[yngfrt]

salut !
J'ai l'énonce suivant dans mon dm : "Expliquer la différence entre « la fonction est majorée », et « la fonction admet un maximum »."

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris toutes ces notions et je me retrouve bloqué car je ne saurais pas l'expliquer rigoureusement.
Un peu d'aide ?

[Sa Majesté]

Un maximum est atteint pour au moins une valeur de l'ensemble de définition

La fonction cosinus est majorée (par tout nombre réel supérieur ou égal à 1)
Elle admet un maximum, qui est 1, atteint en une infinité de points

La fonction arctan est majorée (par exemple par )
Mais elle n'admet pas de maximum

[yngfrt]

Merci bien, mais je ne comprends en revanche pas cet énoncé " 1 est le plus petit des majorants de f, mais 1 n’est pas le maximum de f" que je suis censé écrire en langage mathématique.
Comment est-ce possible ?

[hdci]

Bonsoir,

Comme Sa Majesté l'a écrit,

Un maximum est atteint pour au moins une valeur de l'ensemble de définition

Donc si 1 est le plus petit des majorants, mais n'est pas un maximum, est-ce que la fonction peut avoir un maximum ?

Comment écrire que 1 est un majorant ? (avec une inégalité et le quantificateur adéquat)
Comment écrire que c'est le plus petit (tout nombre strictement inférieur n'est pas majorant)

[yngfrt]

pour tout x appartenant à R, f(x) inférieur ou égal a 1 ? mais là on aurait seulement la moitié de l'énoncé

[hdci]

pour tout x appartenant à R, f(x) inférieur ou égal a 1 ?

Pas tout à fait, car dans "inférieur ou égal" il y a "égal" et justement...

mais là on aurait seulement la moitié de l'énoncé

Oui, il manque le fait que tout nombre strictement inférieur à 1 n'est pas majorant.
pour fixer les idées : si 0 n'est pas majorant, qu'est-ce que cela signifie pour f ?

[yngfrt]

juste inférieure à 1*
Si 0 n'est pas majorant cela signifie que 1 est supérieure ou égale a 0 ?

[yngfrt]

que f(x)* pardon

[hdci]

juste inférieure à 1*

que f(x)* pardon

Je n'ai pas compris...

Si 0 n'est pas majorant cela signifie que 1 est supérieure ou égale a 0 ?

C'est assez trivial, mais 1 est supérieur à 0 que 0 soit ou non majorant. Ce n'est pas ce que j'attendais !
Qu'est-ce que signifie, au regard de f, que 0 n'est pas un majorant de f ?

[yngfrt]

je voulais dire f(x) supérieure ou égale à 0

[hdci]

je voulais dire f(x) supérieure ou égale à 0

Avec quel quantificateur ?

[yngfrt]

et bien pour tout x appartenant à R, f(x) supérieure ou égale à 0 et f(x)inférieure à 1 ?

[hdci]

"Pour tout" ?
Prenons la fonction

0 n'est évidemment pas un majorant de (pourquoi ?). Par contre, ...

[yngfrt]

Ce serait plutôt un il existe en effet. Mis à part cette grossière erreur la rédaction est correcte ?

[hdci]

A priori. Reformulez-moi ça une dernière fois...

[yngfrt]

Il existe un x appartenant a R, f(x) supérieure ou égale à 0 et f(x) inférieure à 1

[hdci]

Presque ; le "il existe" ce n'est que pour une partie de la phrase, pour l'autre partie ce n'est pas "il existe"...

Pour finaliser aussi, 0, c'était "un exemple d'un nombre strictement inférieur à 1".

La phrase correcte est

"Pour tout réel x, f(x)<1, et pour tout réel y, si y<1 alors il existe un réel z tel que f(z)>y"