Limite des fonction urgent DM

[aliceeeeeee]

Bonjour à tous je suis en Terminale spécialité math et j'ai un DM à rendre pour demain, mais je bloque complément sur la dernière question.

Dans ce DM, on a posé une fonction f tel que :
f(x) = (e^x - 1) / (e^x -x)
On nous donne sa courbe...

Puis on lui associe une suite de forme récurrente : u(n+1)=f(un) avec u(0) = 1/2

J'ai calculé que u(n+1) était croissante et majorée en 1, ce qui veut dire qu'elle est convergente. Mais maintenant on me demande de calculer sa limite et j'en suis incapable. Pourriez-vous m'aider ?

PS : Graphiquement en traçant la droite y=x, on voit que la limite de la suite est 1. Mais je ne pense pas que le dire graphiquement soit suffisant.

[joce]

Hello,

Tu sais que ta suite converge (énonce précisément les arguments) vers une limite que tu peux appeler l. Ensuite tu peux procéder en répondant aux questions suivantes : vers quoi tend u_n+1 ? Vers quoi tend f(u_n) ? Que déduire de l ? (indice : tu dois utiliser le fait que f est continue !)

[joce]

J'avais lu trop rapidement : tu as bien énoncé les arguments pour la convergence de ta suite (u_n) !

[aliceeeeeee]

D'abord, merci de votre réponse, mais je ne sais pas vers quoi tend f(un), puisque je ne connais pas un. Sauf si je peux considérer que cela tend vers la même chose que f(x), soit : +infini ?

[hdci]

Bonjour,
Vous avez certainement vu une propriété sur la continuité : si une suite converge vers une limite et si est continue, alors quelle est la limite de la suite ?

Appliquer cela alors à la définition par relation de récurrence

Cela ne donne pas la limite, mais une condition nécessaire très intéressante sur la limite...

[aliceeeeeee]

Bonsoir monsieur, merci de votre réponse aussi, je suis bien d'accord avec vous, mais cela ne prouve pas que la limite de ma suite est bien 1, elle peut être convergente et majorée par celui-ci, mais son majorant n'est pas pour autant sa limite. Et par rapport à la propriété dont vous parlez, non nous ne l'avons pas vu en classe^^.

[hdci]

Alors non cela ne "prouve as encore" que la limite est 1 (attention, j'ai écrit un L minuscule, pas un 1 dans mon message précédent ; je vais changer en appelant la limite

Mais la propriété que vous devriez avoir vue en classe, c'est que si est continue et si admet une limite , alors admet pour limite

C'est ici qu'on passe à la seconde partie :

• si a pour limite , alors quelle est la limite de la suite définie par ?
• Ce qui revient à dire que la limite de est... ?
• Or justement, donc on vient de montrer que la limite de est ... ?
• Et comme on sait avec la continuité que , cela montre que SI admet une limite , ALORS cette limite vérifie...

(Il y a plusieurs enchaînements de questions, faites les bien les uns derrière les autres et arrêtez-vous dès que vous avez un doute ou que vous butez)