Convergence série numérique

[MedPr]

Bonjour, je travaille sur un exercice où l'on me demande d'étudier la convergence de la série ΣUn

1) Un = 1/(ln n)^n pour celle-ci j'ai utilisé le critère de d'Alembert j'ai étudié la limite de Un+1/Un, celle-ci tend vers 0 or 0 <1 donc la série converge. Je voulais savoir si le raisonnement est correct car je ne suis pas sur de moi.

2) Un = [cos(n).cos(1/ln n)]/n là en revanche je n'y arrive pas du tout

Je vous remercie d'avance si vous avez des éléments qui pourraient m'aider dans mon raisonnement.

[Sylviel]

1] Je suis curieux de voir comment tu obtiens la limite de Un+1 / Un (je soupçonnes une erreur).
En l'occurrence il y a beaucoup plus simple pour prouver la convergence.
Deux approches :
[approche générique] écrire la puissance avec une exponentielle Un = e^(- ...) pour y voir plus clair
[approche "astucieuse] minorer ln(n) par ln(2) et conclure par comparaison.

2) Première idée a avoir : cos(n) borné par 1, cos(1/ln(n)) tends vers 1 donc on peut majorer |Un| par 1/n et ça ne nous sers à rien... il va falloir creuser d'avantage !

Et je ne vois pas de méthode simple. Es-tu sûr de l'énoncé ?

[MedPr]

D’accord merci je vais revoir mes calculs pour la question 1.

Pour la deux je suis sûr de l’énoncé, mais vu que 1/n majore Un on peut utiliser le critère de comparaison ?

[Sylviel]

la majoration par 1/n ne t'apprends rien puisque 1/n diverge.

[pascal16]

Un = [cos(n).cos(1/ln n)]/n =cos(n)*[cos(1/ln n)]/n
est du type cos(n) * un truc qui semble bien décroissant et tendant vers 0 à partir d'un moment

https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/sn/sn.pdf
est-ce que le theoreme 9 corolaire 3 est suffisant ?

[Sylviel]

Sauf erreur il faudrait montrer que les sommes partielles de cos(n) sont bornées...