Suite Divergent et convergentezs

[French4luck]

Bonjour,

J'ai un exo que je n'arrive pas à faire, pouvez vous m'aider ?

1)

Soit (Un) une suite numérique définie sur N et (Sn) la suite définie sur N par Sn = u0 + u1 + ... + un

On suppose que la suite (Sn) converge et on note l sa limite
a) Que vaut la limite de Sn + 1
Je pense que Sn = (Un(Un + 1))/2
Et Sn+1 = (Un+1(Un+1 + 1))/2
donc il faut trouver la limite de (Un+1(Un+1 + 1))/2

b) pour tout entier naturels n, déterminer Sn+1 - Sn
D'après mon raisonnement (Un+1(Un+1 + 1))/2 - (Un(Un + 1))/2 ??

c) En déduire la limite de la suite (Un)
Là je ne vois vraiment pas..

2) On veut savoir si la propriété suivante est vraie ou fausse "Si la suite (Un) a pour limite 0 alors la suite (Sn) converge'"
n
Pour cela on considère la suite (Sn) définie sur N* par Sn = Σ 1/k
k=1
(désolé un peu brouillon mais je ne sais pas comment faire autrement )
et on suppose que la suite (Sn) converge vers un nombre réel l

a) Que vaut lim S2n ? En déduire que lim (S2n - Sn) = 0
2n
b) Justifier que pour tout entier n est supérieur ou égal 1, S2n - Sn = Σ 1/k
k = n+1
puis démontrer que S2n - Sn est supérieur ou égal à 1/2

c) Pourquoi cela est-il en contradiction avec le fait que la suite (Sn) converge ? Conclure

2ème partie assez compliqué pour moi, j'espère avoir de l'aide pour mieux comprendre ce DM,
Merci d'avance

[pascal16]

--- mode essai d'enlever la confusion totale sur le chapitre "suites" ----
Soit (Un) une suite numérique définie sur N et (Sn) la suite définie sur N par Sn = u0 + u1 + ... + un

On suppose que la suite (Sn) converge et on note l sa limite
a) Que vaut la limite de Sn + 1
Ne regarde même pas la notion de somme, je te propose deux solution suivant ce que tu entends par Sn+1
Sn est une suite que tend vers l
est en fait juste un décalage d'indice, est-ce que ça change la limite ?
est une suite définie à parie d'une autre à laquelle on ajoute 1. la limite ?


b) pour tout entier naturels n, déterminer Sn+1 - Sn
Sn+1 : est la somme de n+1 termes de Un
Sn : est la somme de n termes de Un

imaginons qu'on ait soit Sn = n
imagine les six chiffres "1 2 3 4 5 6 " - moins les 5 chiffres "1 2 3 4 5" , il reste quoi ?

c) si Sn tend vers une limite, tu as une définition avec u epsilon aussi petit que tu veux.
et pour Un, si epsilon est aussi petit que l'on veut, quelle est sa seule limite possible ?

[French4luck]

--- mode essai d'enlever la confusion totale sur le chapitre "suites" ----
Soit (Un) une suite numérique définie sur N et (Sn) la suite définie sur N par Sn = u0 + u1 + ... + un

On suppose que la suite (Sn) converge et on note l sa limite
a) Que vaut la limite de Sn + 1
Ne regarde même pas la notion de somme, je te propose deux solution suivant ce que tu entends par Sn+1
Sn est une suite que tend vers l
est en fait juste un décalage d'indice, est-ce que ça change la limite ?
est une suite définie à parie d'une autre à laquelle on ajoute 1. la limite ?


b) pour tout entier naturels n, déterminer Sn+1 - Sn
Sn+1 : est la somme de n+1 termes de Un
Sn : est la somme de n termes de Un

imaginons qu'on ait soit Sn = n
imagine les six chiffres "1 2 3 4 5 6 " - moins les 5 chiffres "1 2 3 4 5" , il reste quoi ?

c) si Sn tend vers une limite, tu as une définition avec u epsilon aussi petit que tu veux.
et pour Un, si epsilon est aussi petit que l'on veut, quelle est sa seule limite possible ?

a) Je ne pense pas qu'un décalage d'indice change la limite, mais il y une erreur de ma part lors de la rédaction c'est pas Sn + 1 mais Sn+1 (tout attaché)... Mais du coup ça change quelques chose ou non ? Parce que si non je dirais que la limite de la suite Sn+1 est la même que la suite Sn

b) Pour la b je ne suis pas sûre de comprendre là ça voudrait dire qu'il reste que 6 ??

c) epsilon ? la seule limite serait 0 si il est aussi petit qu'on veut mais je n'ai jamais d'exemple ou d'exercice en utilisant epsilon...

[pascal16]

Logiquement, c'est bien
et c'es un décalage d'indice.




Sn = u0 + u1 + ... + un



et comme et ont même limite, la différence, a quoi comme limite ?

[French4luck]

Si Sn+1 et Sn ont la même limite, Sn+1 - Sn = 0 ?? , la différence c'est bien Sn+1 - Sn ??

[Sa Majesté]

Je pense que Sn = (Un(Un + 1))/2

En écrivant ça, tu fais une grosse grosse confusion avec

Or ça n'a rien à voir.
Si tu veux un exemple concret, tu peux imaginer comme le bénéfice réalisé par une entreprise pendant le mois n, et comme le bénéfice cumulé.
Exemple :
En janvier, bénéfice de , bénéfice cumulé
En février, bénéfice de , bénéfice cumulé
En mars, bénéfice de , bénéfice cumulé
etc ...

Si Sn+1 et Sn ont la même limite, Sn+1 - Sn = 0 ??

Tu confonds la différence des limites et la différence des termes généraux
Relis ce qu'a écrit Pascal



Que vaut ?

[French4luck]

Ah oui effectivement,

Là je dirais Sn+1 - Sn = Un+1 ? c'est le terme qui reste ?

[Sa Majesté]

Oui tout simplement

[French4luck]

D'accord mais là je suis un peu perdu avec toutes les explications je sais plus trop quoi mettre