Géométrie dans l'espace

[DorianJ]

Bonjour, pour les vacances mon prof de spécialité maths nous a donné un DM à faire. J'ai réussi à faire tous les exercices sauf le premier exercice, où j'ai plus de mal. Voici le sujet (je suis en terminale):

Exercice 1:

ABCDEFGH est un cube.
On note I le milieu de [BD].
K est le centre de gravité du triangle DBG.
(Je n'ai pas réussi à joindre la figure à ma question, mais si vous copier/coller l'énoncé dans votre barre de recherche et que vous allez sur les images vous trouverez la figure sur la première image, image provenant du site: ilemaths.net)

1. Montrer que Vect IK = 1/3 Vect IC + 1/3 Vect CG

2. En déduire la décomposition du vecteur AK en fonction des vecteurs AB, AD et AE.

3. On munit l'espace du repère (A, AB, AD, AE).
a) Déterminer les coordonnées des points E, C et K.
b) Prouver que ces points sont alignés.

Normalement, je suis capable de faire les questions a et b du 3. Cependant, je bloque pour les questions 1 et 2, sachant que la question 2 est primordiale pour la suite du DM j'aimerais que l'on m'aide surtout sur cette seconde question pour que je puisse au moins faire la fin de l'exercice.
Merci d'avance pour vos réponses.

[pascal16]

faire une figure

1. Montrer que Vect IK = 1/3 Vect IC + 1/3 Vect CG

K est le centre de gravité du triangle DBG. : en particulier K est à 1/3 de la hauteur IG....
a toi de le traduire en vecteur, un coup de Chasles et c'est fini

2 AK = AI+IK
AI : on sait le décomposer avec AB et AD car I est le centre de la face ABCD
IK : tu vas l'avoir en fonction de IC et CG avec a question 1
IC : on sait le décomposer avec AB et AD car I est le centre de la face ABCD
CG et AE ne sont-ils pas les représentants du même vecteur ?

[DorianJ]

Suite à votre aide, j'ai fait l'exercice 1 et voila ce que j'ai trouvé:

1/ Vect IK = 1/3 Vect IG (car K centre de gravité du triangle DBG)
= 1/3 (Vect IC + Vect CG) (Chasles)
= 1/3 Vect IC + 1/3 Vect CG

2/ Vect AK = Vect AI + Vect IK
= AD + DI + IK (Chasles pour AI)
= AD + DI + 1/3 IC + 1/3 CG (Chasles pour IK, par l'intermédiaire de la question 1)
= AD + 1/2 DB + 1/3 IC + 1/3 AE (car I milieu de [DB])
= AD + 1/2 (AD + AB) + 1/3 IC + 1/3 AE ( Chasles de 1/2 DB)
= AD + 1/2 AD + 1/2 AB + 1/3 (IB + BC) + 1/3 AE
= AD + 1/2 AD + 1/2 AB + 1/3 (1/2 DB + AD) + 1/3 AE
= AD + 1/2 AD + 1/2 AB + 1/3 (1/2 AD + 1/2 AB + AD) + 1/3 AE
= AD + 1/2 AD + 1/2 AB + 1/6 AD + 1/6 AB + 1/3 AB + 1/3 AE
= 2 AD + 2/3 AB + 1/3 AE

Cependant, je ne suis pas sur que le résultat obtenu soit bon notamment pour le Vect AD (à la question 2).

[pascal16]

Graphiquement, ton vecteur final a une norme bien trop élevée

1/2 (AD + AB) -> attention, c'est 1/2 (DA + AB)

[DorianJ]

Merci pour votre aide, en refaisant mes calculs je tombe sur un résultats bien plus pertinent :

AK = 2/3 AD + 2/3 AB + 1/3 AE.

[pascal16]

ca me parait bon
AK = 2/3 AD + 2/3 AB + 1/3 AE
AK = 2/3 AB + 2/3 AD + 1/3 AE
donc AK( 2/3;2/3;1/3) dans le repère (A; AD; AB; AE)

E, C et K alignes
tu peux passer par EC= une constante * EK ou un truc du genre en exprimant tous les vecteurs dans le repère proposé

[DorianJ]

En effet, pour la fin de l'exercice je trouve bien Vect EC = 3/2 * Vect EK.
Donc les points E, C et K sont bien alignés.