Divergence de a suite (-1)^n

[fpaco]

Bonsoir, voici un exo sur lequel je bute, et nécessiterai un peu d'aide.

Exercice :

Cet exercice montre que la suite de terme général un = (−1)^n diverge.
On suppose que cette suite converge vers un réel l.

1. Justifier qu’il existe un entier N tel que, si n ≥ N, alors |un − l| ≤ 1/2
2. Montrer que pour n ≥ N et pair, on a |1 − l| ≤ 1/2
3. Montrer que pour n ≥ N et impair, on a |1 + l| ≤ 1/2
4. En utilisant l’inégalité triangulaire, aboutir à une contradiction et conclure.

Je ne vois pas du tout par où commencer pour la question 1 pour faire intervenir le 1/2
Merci de votre aide.

[pascal16]

L'exo est pas trop bien fagoté. Il n'utilise pas un négation de la définition pour prouver que c'est faux, mais cherche une impossibilité plus forte.

en gros, il faut comprendre que.
par la définition de la convergence, il existe un no tel que , pour tout n plus grand que no, |Un-l| < epsilon.
on choisi epsilon = 0.5.

pour n plus grand que no :
pour n pair tu vas avoir Un=1, donc la limite est au plus à 0.5 de 1 (donc la limite est dans [0.5; 1.5]
pour n impair tu vas avoir Un=1, donc la limite est au plus à 0.5 de -1 (donc la limite est dans [-1.5; -0.5]

on peut remarque que la limite doit être dans deux intervalles disjoint...

Un fois que tu as compris le principe, tu peux répondre à l'éxo tel qu'il est formulé.

[fpaco]

Merci infiniment

[pascal16]

rectif : pour n impair tu vas avoir Un=-1