Division euclidienne

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polpol
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Division euclidienne

par polpol » 26 Oct 2020, 22:25

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé sur la division euclidienne sur lequel je bloque depuis pas mal de temps...:
Pour n appartenant à N sauf 0, on considère le produit P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)...(2n).
Démontrer que pour tout entier naturel n>1, P(n) est divisible par 2^n.


Voici ce que j'ai fait pour l'instant:

Raisonnons par récurrence:
Initialisation --> Montrons que cette propriété est vraie au rang n=1.
Pour n=1, P(n)=2. En effet, le premier facteur (1+1)=2 et le dernier facteur (2*1)=2 aussi. Ce même facteur est bien divisible par 2^1=2, donc la proposition est vraie au rang 0.

Hérédité --> Supposons qu'il existe un entier n>1 tel que 2^n/P(n). Montrons que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que 2^n+1/P(n+1).
On sait que P(n)=2^n*k
P(n+1)= 2^(n+1)*k'
Alors à partir de là je bloque... J'aimerais calculer P(n+1)/P(n) pour ensuite exprimer P(n+1) en fonction de P(n). P(n+1)=P(n)*...
Mais je n'en suis pas sûre :?

Merci d'avance pour votre aide :D



Rdvn
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Re: Division euclidienne

par Rdvn » 26 Oct 2020, 23:07

Bonsoir
Pour finir votre récurrence
P(n+1)=(n+2) ... 2(n+1)

n+1=(2^q).r , q et r entiers, r impair
(possible q=0, possible r=1)

2(n+1)=(2^(q+1)).r

Bon courage

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capitaine nuggets
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Re: Division euclidienne

par capitaine nuggets » 26 Oct 2020, 23:12

Salut !

Comme je ne sais pas si tu as déjà vu la notation "factorielle", je vais simplifier.

Notons le produit de tous les entiers de à . On peut noter au passage que (le produit des entiers de à est égal à fois le produit des premiers entiers de à ).

Alors peut se réécrire sous la forme



(les premiers facteurs entiers de jusqu'à se simplifient au numérateur et au dénominateur). Ainsi



Or :
- et,
- ,
donc par conséquent on en conclut que



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polpol
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Re: Division euclidienne

par polpol » 27 Oct 2020, 14:32

Merci beaucoup pour vos réponses rapides ! Effectivement je n'ai encore vu la notation factorielle. J'ai encore une petite question: je ne comprends pas trop pourquoi P(n)=A(2n)/A(n) ? En fait je comprends pour A(2n) car (2n) est à la fin de P(n), mais pourquoi le divise-t-on encore par A(n) ?

polpol
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Re: Division euclidienne

par polpol » 27 Oct 2020, 15:00

Et comment conclut-on à la fin que P(n+1)=2^(n+1)*k' ? Le fait que (n+1) soit en puissance m'embrouille..

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capitaine nuggets
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Re: Division euclidienne

par capitaine nuggets » 27 Oct 2020, 15:40

Salut !

Une façon de le voir :


donc .
Une autre façon de le voir :






Ensuite, une fois que tu as bien établi que , c'est fini : tu as bien l'hérédité. Si tu supposes que est divisible par alors est divisible par donc est aussi divisible par , d'où la conclusion (je te laisse écrire les détails : si tu supposes que , trouve, à partir de l'expression de en fonction de , un entier tel que ).

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Re: Division euclidienne

par polpol » 27 Oct 2020, 16:54

J'ai compris merci beaucoup ! :D

 

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