Bonjour à tous,
Voici l'énoncé sur la division euclidienne sur lequel je bloque depuis pas mal de temps...:
Pour n appartenant à N sauf 0, on considère le produit P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)...(2n).
Démontrer que pour tout entier naturel n>1, P(n) est divisible par 2^n.
Voici ce que j'ai fait pour l'instant:
Raisonnons par récurrence:
Initialisation --> Montrons que cette propriété est vraie au rang n=1.
Pour n=1, P(n)=2. En effet, le premier facteur (1+1)=2 et le dernier facteur (2*1)=2 aussi. Ce même facteur est bien divisible par 2^1=2, donc la proposition est vraie au rang 0.
Hérédité --> Supposons qu'il existe un entier n>1 tel que 2^n/P(n). Montrons que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que 2^n+1/P(n+1).
On sait que P(n)=2^n*k
P(n+1)= 2^(n+1)*k'
Alors à partir de là je bloque... J'aimerais calculer P(n+1)/P(n) pour ensuite exprimer P(n+1) en fonction de P(n). P(n+1)=P(n)*...
Mais je n'en suis pas sûre
Merci d'avance pour votre aide