Combien de cercle dans un rectangle

[sébastienG]

Bonjour,

je suis spécialisé dans le tube bois/métal, et j'aimerai trouver une formule qui me permet de savoir combien je peux mettre de tubes (diamètre 2,8cm par exemple) dans un carton de 14*11cm
on peut prendre longueur tube 2m donc longueur carton 2m (mon carton se découpe automatiquement en fonction de la longueur de mon tube)
merci beaucoup pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu veux donc savoir combien tu peux mettre de disques de diamètre 2,8 disjoints dans un rectangle de de 14x11 ?

[sébastienG]

Oui exactement

[GaBuZoMeu]

On en met 18 sans problème. Mieux ?

[sébastienG]

C'est effectivement 18
Mais je veux bien le calcul svp, car j'aspire à augmenrer mes dimensions cartons pour monter à 25 tubes environs
Merci

[GaBuZoMeu]

Il est clair que 14*14 fait l'affaire pour 25 tubes (5 rangées de 5).

Ça marche aussi avec 15,4 x 12,5, ce qui fait une toute petite économie de carton !

[lyceen95]

Il y a 2 problèmes un peu différents :
A. J'ai un carton avec une taille imposée, et je veux savoir combien de tubes je peux mettre dedans au max.
B. Je veux dimensionner un carton rectangulaire pour un nombre imposé de tubes.

L'exercice A peut être assez embêtant. On trouve très vite une solution, en faisant comme si les tubes étaient des carrés. Mais avec des ronds, on peut parfois se débrouiller pour caler un ou 2 éléments de plus. Il n'y a aucune formule mathématique pour ça.

Pour l'exercice B, on a en gros 2 dispositions régulières.
La première disposition, c'est quand on aligne les éléments, comme si c'était des carrés.
Pour 25 tubes, on va faire 5 lignes de 5 carrés, et on va arriver à 14cm x 14cm pour nos disques de 2.8cm de diamètre.

Une autre disposition, c'est de les mettre plus ou moins en 'quinconce'.
Pour nos 25 disques, on va mettre 5 disques le long du bord du carton. Ensuite, on place les disques de la 2ème rangée. Chaque disque de cette 2ème rangée touche 2 disques de la 1ère rangée. Sauf le dernier disque de cette 2ème rangée, bien sûr.
Et idem pour la 3ème rangée etc etc
Du coup si tu as rangée, la largeur du carton sera

Et si chaque rangée contient éléments, la longueur du carton doit être

Dans le cas de 5 rangées de 5 cartons, ça donne le 12,5*15,4 de GaBuZoMeu.

Ici, on parle de 25 disques. Ca tombe bien vu que 25=5*5, et donc c'est parfait pour 5 rangées de 5 éléments.

Avec la disposition que j'ai appelée en quinconce, tu peux placer par exemple 23 disques facilement :
5 sur la 1ère rangée, puis 4 puis 5 puis 4 puis 5.
Et il nous faut donc un carton de en largeur et 5*2.8 en longueur.

[Belien]

Pour l'exercice A, je propose une majoration du nombre de tubes de rayon r en fonction de la largeur L et la longueur X, en supposant X plus petit que L.

Voici la majoration :

(L*X)/(2sqrt(3)*r^2) - ((X/r)-2)*0.209 - (L/r)*0.077

On peut l'optimiser en remplaçant L par max(k*(2r)+1.866*r < L) ou max(k*(2r) < L), k entier. En fait il faut choisir le plus grand des deux.

Pareil pour X avec max(k*1.866*r+2r < X).

Pour L=14 et X=11 (en optimisant), on trouve 19 comme majorant. C'est pas parfait mais c'est pas trop mal. La formule donne un équivalent du vrai nombre lorsque r/(L*X) tend vers 0 et L et X vers l'infini. Elle donnera jamais le nombre exact cependant, mais sera 'assez' proche.

Pour un équivalent plus simple mais moins précis on peut se contenter de (L*X)/(2sqrt(3)*r^2).

Sauf erreur de ma part.