Résoudre xy+yz+zx=xyz en base 10

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sandy123
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Résoudre xy+yz+zx=xyz en base 10

par sandy123 » 21 Oct 2020, 06:32

Bonjour à vous et merci de me lire j'ai un problème dans la résolution de l'équation: xy+yz+zx=xyz en base 10
Je n'arrive pas à le faire j'ai essayer de remplacer xy par 10x+y et tous les autres nombres par leur correspondants genre yz par 10y+z etc...
J'arrive à l'équation y=89x-10z je ne sais plus comment continuer

Merci beaucouo d'avance.



Manny06
Membre Complexe
Messages: 2123
Enregistré le: 26 Jan 2012, 17:24

Re: Résoudre xy+yz+zx=xyz en base 10

par Manny06 » 21 Oct 2020, 11:28

tu peux donner à z les valeurs 0,1,2 9 et voir les valeurs possibles de x et y (x,y,z sont des chiffres)
tu as la solution évidente x=y=z=0
si x=1 la seule valeur possible de z est8
si x>1 pas de valeur possible pour z

Black Jack

Re: Résoudre xy+yz+zx=xyz en base 10

par Black Jack » 21 Oct 2020, 13:22

Bonjour,

Outre la solution triviale x = y = z = 0 (si les écritures 00 et 000 sont admises pour représenter le nombre zéro) :

10x + y + 10y + z + 10z + x = 100x + 10y + z
10x + y + 10z + x = 100x
89x - 10z - y = 0
y = 89x - 10z

Si x = 0 --> z = 0 et y = 0 (on retombe sur la solution triviale)

Si x dans [1 ; 9] --> 89x est dans [89 ; 801] et 89x-y = 10z est dans [80 ; 801]
--> z est dans [8 ; 9]

a) z = 8
--> y = 89x - 80
et donc seule possibilité : x = 1 et y = 9
Le triplet (x,y,z) = (1,9,8) est solution

b) z = 9
--> y = 89x - 90 est impossible (x = 1 donne y < 0 et x > 1 donne y > 9)

Donc le triplet (0;0;0) (si admis) et le triplet (1,9,8) sont solutions.

8-)

 

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