Bonjour à vous,
ceci est mon premier message sur votre forum, n'hésitez pas à me dire si je ne suis pas dans la bonne section.
Voici mon énoncé à démontrer : les médianes d'un triangle se coupent en un même point, et ce, au 2/3 de leurs longueurs.
J'ai noté D le milieu de AB, E le milieu de BC et F le milieu de AC.
Je dois faire une démonstration à l'aide de vecteurs. Je tiens à préciser (suite à des recherches sur Internet) que je n'ai pas vu la notion de centre de gravité.
J'ai posé :
BP = xBF
AP = yAE
CP=zCD
J'ai cherché à construire un système d'équations linéaires en utilisant les vecteurs AB et AC.
BP = x(-AB + 1/2 AC)
AP = y/2(AB + AC)
CP = z(-AC + 1/2 AB)
Je crois que jusqu'ici mon raisonnement est bon. Toutefois, c'est la suite qui m'embête :
AP - BP = AP + PB = AB
En utilisant les expressions trouvées précédemment :
AB = (y/2 + x)AB +(-x/2 + y/2)AC
J'obtiens donc : 1 = y/2 + x et 0 = -x/2 + y/2
J'obtiens alors x = y = 2/3
Je procède similairement en faisant AP - CP = AC et j'obtiens z = 2/3
Suis-je dans l'erreur ?
Si je ne suis pas dans l'erreur, comment faire pour montrer que le point P est bien le point d'intersection des trois médianes ?
Je pensais additionner ainsi :
BP + AP + CP = 2/3 BF + 2/3 AE + 2/3 CD = 2/3(BF + AE + CD) = 2/3(j'ai développé tout en termes de AB et AC et j'ai obtenu le vecteur nul) = vecteur nul
Par conséquent, comment puis-je justifier que le point P est bien le point d'intersection ?
Je vous remercie à l'avance pour vos commentaires
DomK
PS : Je suis conscient que je n'ai pas écrit en TeX, mais ce sont bien des vecteurs