Bonjour,
Je viens de finir mes exercices sur le barycentres mais je ne sais pas si les justifications sont correctes. Voici le sujet:
A. Avec deux points
On considère une balance représentée par un segment [AB] de longueur 10cm et on suspend une masse de ma = 2 kg en A et une masse de mg = 6 kg en B. On cherche le point d'équilibre G de ce système.
La deuxième loi de Newton appliquée à un solide en rotation permet d'écrire la relation : maGA +mbGB =0.
On dit que le point G est le barycentre du système de points pondérés {(A;ma),(B;mb)}, où les masses sont les coefficients affectés aux points A et B.
1. A l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur AG en fonction du vecteur AB dans l'exemple cité.
2. En déduire la position exacte du point G et le construire.
B. Existence et unicité des barycentres
Soit A et B deux points distincts de l'espace.
1. Existe-t-il un point H tel que 3HA-3HB =0 ?
2. Soit (a, b) un couple de réels tels que a + b ne soit pas nul.
Montrer qu'il existe un unique point G tel que aGA+bGB=0 et en déduire la position exacte du point G en fonction des coefficients a et b.
3. Soit A et B deux points distincts et G le barycentre de {(A;3), (B;1)}.
a) Pourquoi ce barycentre existe-t-il ?
b) Quelles égalités vectorielles peut-on en déduire ?
C. Associativité du barycentre
Soit ABC un triangle et G le barycentre de {(A;2), (B;-1), (C;1)}.
1. On appelle K le barycentre de {(A;2), (B;-1)}. Construire le point K.
2. Démontrer que 2GA-GB=GK.
3. En déduire que G est le barycentre de {(K;1),(C;1)}, puis construire le point G. 4. Généralisation
Soit G le barycentre de {(A;a),(B;b), (C;c)} vérifiant donc l'égalité suivante : aGA+bGB+cGC =0. On note H le barycentre de {(A;a), (B;b)} quand il existe. Montrer qu'alors G est le barycentre du système {(H;a+b),(C;c)}.
D. Application
ABC est un triangle de centre de gravité G.
I est le milieu du côté [BC].
a) A l'aide de la propriété d'associativité, démontrer que G est barycentre du système {(A;1), (1;2)} . En déduire que G appartient à la médiane (AI).
b) Démontrer que les médianes du triangle ABC sont concourantes en G.
A.1) maGA+mbGB=0
maGA+mb(GA+AB)=0
AG=(mb/(ma+mb))*AB
A.2)AG=(6/6+2)*10=7,5cm
B.1) 3HA-3HB=3(HA+BH)=3BA différent de 0, donc il n'existe pas de point H
B.2) aGA+bGB=0
aGA=-b[b]GB[/b]
GA=-b/a*GB
B.3) Ce barycentre existe car a+b différent de 0
3GA+(GA+AB)
4GA+AB=4AG+AB
AG=1/4AB
A partir de la question C je n'y arrive plus, merci pour votre aide.